Feladat: Gy.2399 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1987/november, 391 - 392. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/március: Gy.2399

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a páros indexű számok összege P, a páratlanoké pedig Q. Ha elvégezzük a P⋅Q szorzást, akkor a vizsgált összeg minden egyes tagját megkapjuk. Kapunk persze további tagokat is ‐ nem szomszédos indexű xi-k szorzatait ‐ a feltétel szerint azonban ezek egyike sem lehet negatív.
Így

x1x2+x2x3+...+xn-1xn≦PQ,
másfelől P+Q=1 és P,Q≧0 miatt a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség felhasználásával PQ≦1/4.
Azt kaptuk, hogy a vizsgált összeg értéke nem lehet 1/4-nél nagyobb. Ez a becslés nem javítható, ugyanis ha x1=x2=12, x3=x4=...=xn=0, akkor (1) értéke éppen 1/4.
 

II. megoldás. Legyen xk az adott számok ‐ egyik ‐ maximuma. Mivel a számok között nincsen negatív, az (1) kifejezés értéke nem csökken, ha minden tagjában xk-val helyettesítjük az egyik tényezőt. Tegyük ezt úgy, hogy az xk-t tartalmazó tagoktól balra a magasabb indexű, tőlük jobbra pedig az alacsonyabb indexű tényezőt cseréljük ki xk-ra.
Az adott kifejezés értékét A-val jelölve tehát
A≦x1xk+x2xk+...+xk-1xk+xkxk+1+xkxk+2+...+xkxn==xk(x1+x2+...+xk-1+xk+1+...+xn)=xk(1-xk),


hiszen az adott számok összege 1.
Miután pedig xk(1-xk)≦1/4, ezért A≦1/4. Az első megoldásban láttuk, hogy egyenlőség lehetséges.