Kezdőlap


Feladat:	Gy.2396	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1987/október, 311 - 312. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hossz, kerület, Terület, felszín, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/február: Gy.2396

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek a háromszög oldalai $a$ , $b$ , $c$ , az oldalakhoz tartozó magasságok pedig $m_{a}$ , $m_{b}$ , $m_{c}$ . Ekkor a háromszög területét az ismert módon felírva

\begin{matrix} \frac{1}{2} = \frac{a m_{a}}{2} = \frac{b m_{b}}{2} = \frac{c m_{c}}{2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} 1 = \sqrt[]{a m_{a}} = \sqrt[]{b m_{b}} = \sqrt[]{c m_{c}}, \end{matrix}

A számtani és a mértani közép közti egyenlőtlenség szerint

\begin{matrix} 1 & = \sqrt[]{a m_{a}} ≦ \frac{a + m_{a}}{2}, \\ 1 & = \sqrt[]{b m_{b}} ≦ \frac{b + m_{b}}{2}, \\ 1 & = \sqrt[]{c m_{c}} ≦ \frac{c + m_{c}}{2} . \end{matrix}

Ezeket összeadva és rendezve

\begin{matrix} 6 ≦ (a + b + c) + (m_{a} + m_{b} + m_{c}) \end{matrix}

(1)

adódik.
Mivel egy háromszög magassága nem lehet hosszabb a vele közös csúcsból induló oldalak egyikénél sem, ezért

a ≧ m_{b}

b ≧ m_{c}

c ≧ m_{a},

azaz:

\begin{matrix} a + b + c ≧ m_{a} + m_{b} + m_{c} . \end{matrix}

(2)

Ekkor viszont (1) csak úgy teljesülhet, ha

a + b + c ≧ 3,

ami pedig éppen a bizonyítandó állítás.

II. megoldás. Legyenek a háromszög oldalai

a

b

c

, a kerület felét pedig jelöljük

s

-sel. Ekkor Héron tételéből

\begin{matrix} \frac{1}{2} = T = \sqrt[]{s (s - a) (s - b) (s - c)} . \end{matrix}

(3)

A számtani és a mértani közép közti egyenlőtlenség szerint:

\begin{matrix} (s - a) (s - b) (s - c) ≦ {[\frac{(s - a) + (s - b) + (s - c)}{3}]}^{3} = {(\frac{s}{3})}^{3} . \end{matrix}

(4)

Ezt egybevetve (3)-mal:

\begin{matrix} \frac{1}{2} ≦ \sqrt[]{s \cdot {(\frac{s}{3})}^{3}} = \frac{s^{3}}{\sqrt[]{27}}, vagyis: \frac{\sqrt[]{27}}{2} ≦ s^{2}, \end{matrix}

és ez azt jelenti, hogy

\begin{matrix} 2 s ≧ \sqrt[]{6 \sqrt[]{3}} \approx 3,2237. \end{matrix}

Az eredeti állításnál tehát több is igaz: Egy

1 / 2

területű háromszög kerülete legalább

\sqrt[]{6 \sqrt[]{3} .}

Megjegyzések. 1. Az I. megoldásban szereplő (2) egyenlőtlenségben sohasem áll fenn egyenlőség, ezért az ott leírt módszerrel nem lehet bebizonyítani, hogy a kerület legalább

\sqrt[]{6 \sqrt[]{3}}

.
2. A (4) egyenlőtlenségben

a = b = c

esetén egyenlőség van, ezért a II. megoldás során kapott eredményünk tovább már nem javítható. Az

1 / 2

területű szabályos háromszög kerülete éppen

\sqrt[]{6 \sqrt[]{3}}

.
3. A II. megoldásból az az ismert állítás is kiolvasható, hogy adott területű háromszögek közül a szabályos háromszög kerülete a legkisebb.