Kezdőlap


Feladat:	Gy.2394	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Benczúr Péter
Füzet:	1987/október, 309 - 310. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Parabola egyenlete, Parabola, mint kúpszelet, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/február: Gy.2394

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyünk fel egy derékszögű koordináta-rendszert úgy, hogy az adott egyenes legyen az $y$ -tengely, az első szakasz kezdőpontja pedig az origó.

Ekkor a

k

-adik,

2 k - 1

hosszúságú szakasz végpontjának távolsága az origótól az első

k

páratlan szám összegével egyenlő, ami

((2 k - 1) + 1) \cdot k / 2 = k^{2}

. Ennek a szakasznak a felezőpontja tehát

k^{2} - \frac{2 k - 1}{2}

távolságra van az origótól. A

k

-adik szakaszra szerkesztett szabályos háromszög magassága

\frac{\sqrt[]{3}}{2} (2 k - 1)

, és így e háromszög

y

tengelyre nem illeszkedő csúcsának koordinátái:

\begin{matrix} (\pm \frac{\sqrt[]{3}}{2} (2 k - 1), k^{2} - \frac{2 k - 1}{2}) . \end{matrix}

\pm

jel azért szükséges, mert nem tudjuk, hogy a háromszög az egyenesnek melyik oldalán helyezkedik el.) Ezután már egyszerű behelyettesítéssel meggyőződhetünk arról, hogy a harmadik csúcsok minden

k

értékre rajta vannak az

y = \frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{4}

egyenletű parabolán.

Megjegyzés. A harmadik csúcsok koordinátáinak meghatározása után kereshetjük a parabola egyenletét az általános

y = a x^{2} + b x + c

alakban, mint azt a megoldók nagy része tette. Az első három pont koordinátáit behelyettesítve egy háromismeretlenes egyenletrendszer adódik:

\begin{matrix} \frac{1}{2} = \frac{3}{4} a + \frac{\sqrt[]{3}}{2} b + c, \\ \frac{5}{2} = \frac{27}{4} a + \frac{3 \sqrt[]{3}}{2} b + c, \\ \frac{13}{2} = \frac{75}{4} a + \frac{5 \sqrt[]{3}}{2} b + c . \end{matrix}

Ezt megoldva kapjuk a parabola egyenletének együtthatóit.