Kezdőlap


Feladat:	Gy.2393	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Antos A. , Balogh 171 J. , Bella G. , Benkő D. , Binder Zsuzsanna , Bíró 100 A. , Bodnár Z. , Bukszár J. , Buttyán L. , Fazekas Á. , Fleiner T. , Fülöp Csaba , Hahn Zs. , Jalsovszky P. , Jónás A. , Károlyi Gy. , Keleti T. , Kondacs A. , Kovács 969 T. , Kozma K. , Lois L. , Mezei J. , Paál B. , Páhi A. , Pásztor 625 G. , Révész G. , Semsey B. , Siklér F. , Sustik M. , Szabó 639 A. , Tasi Andrea , Temesvári A. , Tomacsek J. , Veres E. , Veres L.
Füzet:	1987/október, 308 - 309. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Valós számok és tulajdonságaik, Racionális számok és tulajdonságaik, Nevezetes azonosságok, Diofantikus egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/február: Gy.2393

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az adott kifejezést $P (a, b)$ -vel. Ha $k$ tetszőleges nemnegatív egész és $a = 5 k^{2}$ , $b = 2 k^{2}$ , akkor $P (a, b) = (\sqrt[]{5} - \sqrt[]{2}) (\sqrt[]{5} + \sqrt[]{2}) k = 3 k$ , így alkalmas $a$ és $b$ egészekkel a $3$ minden nemnegatív többszöröse előáll $P (a, b)$ alakban. Megmutatjuk, hogy épp ezek a számok a szóban forgó kifejezés egész ‐ sőt racionális ‐ értékei, azaz ha az $a$ és $b$ nemnegatív egészekre $P (a, b)$ racionális, akkor a $3$ nemnegatív többszöröse.
Tekintsük ehhez a $Q (a, b) = (\sqrt[]{5} + \sqrt[]{2}) (\sqrt[]{a} - \sqrt[]{b})$ mennyiséget.
Mivel $P (a, b) \cdot Q (a, b) = 3 (a - b)$ , ezért ha az $a$ és $b$ nemnegatív egészekre $P (a, b)$ racionális, akkor $Q (a, b)$ is az, hisz $P (a, b) \neq 0$ , ha $a$ és $b$ nem egyszerre $0$ .
Ha tehát $P (a, b)$ racionális, akkor ugyancsak racionális az

\begin{matrix} u = \frac{1}{2} (P (a, b) + Q (a + b)) = \sqrt[]{5 a} - \sqrt[]{2 b} \end{matrix}

és a

\begin{matrix} v = \frac{1}{2} (P (a, b) - Q (a + b)) = \sqrt[]{5 b} - \sqrt[]{2 a} \end{matrix}

is. A megoldás során szükségünk lesz az alábbi segédtételre:

(*) különböző nemnegatív egész

m

n

számokra

\sqrt[]{m} - \sqrt[]{n}

csak úgy lehet racionális, ha

m

is és

n

is négyzetszám.

Valóban,

(\sqrt[]{m} - \sqrt[]{n}) (\sqrt[]{m} + \sqrt[]{n}) = m - n

, és így most

(\sqrt[]{m} - \sqrt[]{n})

-nel együtt

(\sqrt[]{m} + \sqrt[]{n})

is racionális. Ekkor viszont e két mennyiség összege,

2 \sqrt[]{m}

és különbsége,

2 \sqrt[]{n}

ugyancsak racionális. Miután pedig egy egész szám négyzetgyöke pontosan akkor racionális, ha a szám négyzetszám, a (*) állítást bebizonyítottuk.
A továbbiakban

u

és

v

lehetséges értékei szerint három esetet különböztetünk meg.
1.

u

és

v

egyike sem nulla.
A (*) állítás szerint ekkor

u

-ban és

v

-ben négyzetszámok állnak a négyzetgyök-jelek alatt. Így

5 a

és

2 a

, illetve

5 b

és

2 b

négyzetszámok, emiatt szorzatuk,

10 a^{2}

, illetve

10 b^{2}

is az, ami pedig csak úgy lehet, ha

a = b = 0

, hisz a

10

nem négyzetszám. Ez az eset tehát nem lehetséges, hisz ekkor

u = v = 0

volna.
2.

u

is és

v

is nulla.
Ekkor

5 a = 2 b

és

5 b = 2 a

, ahonnan

a = b = 0

. Ilyenkor

P = 0

.
3.

u

és

v

közül pontosan az egyik nulla.
Ha például

u \neq 0

, akkor a (*) állítás szerint

5 a

és

2 b

négyzetszámok, azaz alkalmas

k

és

l

nemnegatív egészekkel

a = 5 k^{2}

és

b = 2 l^{2}

. A

v = 0

feltételből viszont

2 a = 5 b

, azaz

k = l

adódik, ilyenkor tehát

a = 5 k^{2}

és

b = 2 k^{2}

. Ez viszont, mint láttuk, épp azt jelenti, hogy

P (a, b)

3

-mal osztható egész. Hasonló eredményre vezet az

u = 0

v \neq 0

föltevés is.
Beláttuk tehát, hogy ha

P (a, b)

racionális, akkor valóban egész és osztható

3

-mal, így a bizonyítást befejeztük.

Megjegyzés. A dolgozatok egy részében a szerzők ismételt négyzetre emelések után a racionális és az irracionális részek szétválasztásával jutottak el a megoldáshoz, miközben gyakran elmaradt egy-egy lehetőség pontos vizsgálata.