I. megoldás. A szorzatok összege nem függ az eljárás során végrehajtott felosztások sorozatától. Esetünkben mindig $500500$ az eredmény, általában, $n$ kavics esetén pedig $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=\frac{n\left(n-1\right)}{2}$.
A sejtés megfogalmazása után kézenfekvő a teljes indukciós bizonyítás, csak arra kell ügyelnünk, hogy a szóban forgó összeget egyetlen kavicsra is értelmezzük, mégpedig $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\right)=0$ alakban. Ez megfelel annak, hogy egy olyan kupac, amelyben csak egy kavics van, nem osztható tovább, így ilyenkor a szorzatösszeg $0$.
Legyen most $n>1$ és tegyük fel, hogy az állítás igaz minden olyan $m$-re, amelyre $1\leqq m<n$. Bontsuk az $n$ kavicsból álló kupacot az első lépésben egy $k$ és egy $n-k$ elemű csoportra. $(0<k<n$, de $k=1$ lehetséges!) Az $n$ darab kavicsra kiszámolt szorzatösszeg ekkor egyenlő az ebből az első felosztásból nyert szorzatnak, $k\left(n-k\right)$-nak és a $k$, illetve $n-k$ elemű csoportokhoz tartozó szorzatösszegeknek az összegével. Utóbbi kettő az indukciós feltevés szerint a további felosztásoktól függetlenül $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2}\right)$, illetve $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{2}\right)$, a három mennyiség összege pedig valóban $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)$ minden $0<k<n$ esetén.
Beláttuk tehát, hogy az állítás $n$-re is igaz, és ezzel a bizonyítást befejeztük.