Kezdőlap


Feladat:	Gy.2388	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tavaszi Gábor
Füzet:	1987/október, 303 - 305. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Tengelyes tükrözés, Súlyvonal, Paralelogrammák, Párhuzamos szelők tétele, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/január: Gy.2388

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a paralelogramma csúcsai $A$ , $B$ , $C$ és $D$ , az $A B$ és $C D$ oldalpárra merőleges adott egyenes $t$ , a szerkesztendő tükörkép $A' B' C' D'$ , végül messék az $A B$ és a $C D$ egyenesek a $t$ egyenest $K$ -ban illetve $L$ -ben (1. ábra). A tengelyes tükrözés tulajdonságai miatt $A A' = 2 A K$ , $B B' = 2 B K$ , $C C' = 2 C L$ és $D D' = 2 D L$ , tehát a tükrözés most adott szakaszok megkétszerezését jelenti. Ezt fogjuk most elvégezni csak vonalzó segítségével, felhasználva, hogy minden esetben adott egy, a megkétszerezendő szakasszal párhuzamos egyenes (a paralelogramma szemközti oldala).

1.a ábra

1.b ábra

Először egy adott

G H

szakasz felezőpontját szerkesztjük meg. Legyen

I

és

J

e

egyenesen két olyan pont, melyekre a

G H I J

trapéz nem paralelogramma. A trapéz

H I

és

G J

szárainak metszéspontja legyen

P

, a

G I

és

H J

átlók metszéspontja pedig

O

. Azt állítjuk, hogy a

P O

egyenes felezi a

G H

szakaszt.

2. ábra

Messe az

O

-n átmenő,

e

-vel párhuzamos egyenes a trapéz szárait az

R

és a

Q

pontban (2. ábra). Ekkor a

J Q O

és a

J G H

, valamint az

I R O

és az

I H G

háromszögek hasonlóak, mert megfelelő oldalaik párhuzamosak. Ezek arányára tehát

\begin{matrix} \frac{Q O}{G H} = \frac{J Q}{J G}, illetve \frac{O R}{G H} = \frac{I R}{I H} . \end{matrix}

A párhuzamos szelők tétele miatt a fenti egyenlőségek jobb oldalai egyenlők, és így a bal oldalak egyenlőségéből

Q O = O R

következik, vagyis

P O

P Q R

háromszög súlyvonala. A

P Q R

és a

P G H

háromszögek középpontosan hasonlóak, ezért

P O

P G H

háromszögben is súlyvonal, és így valóban felezi

G H

-t.
Ezek után már könnyen megszerkeszthetjük egy adott

S T

szakasz kétszeresét, ha adott egy

S T

-vel párhuzamos

f

egyenes. Vegyünk fel ezen egy

U V

szakaszt úgy, hogy

U V < S T

legyen, és szerkesszük meg az

U V

szakasz

F

felezőpontját. Ekkor

U F < S T

, tehát létrejön az

S U

és

T F

egyenesek

X

metszéspontja. Azt állítjuk, hogy az

X V

és az

S T

egyenesek

Y

metszéspontja lesz a keresett pont, amelyre tehát

2 S T = S Y

(3. ábra).

3. ábra

Valóban, az

X S Y

és az

X U V

háromszögek középpontosan hasonlóak, és

X F

súlyvonal az

X U V

háromszögben, tehát

X T

súlyvonal az

X S Y

háromszögben.
Az eredeti paralelogramma tükrözése ezután már egyszerű: a fentebb leírt módon rendre megkétszerezzük az

A K

B K

C L

D L

szakaszokat.
Ezzel a feladatot megoldottuk.

Megjegyzések. 1. Egyetlen vonalzó segítségével nem lehet adott egyenessel párhuzamos egyenest szerkeszteni, vagyis ha a paralelogramma helyett csak egy szakaszt kellett volna tükröznünk, azt nem tudtuk volna megtenni.
2. A hiányos vagy hibás dolgozatok szerzőinek nagy része párhuzamos élű vonalzót használt, sőt olyan is akadt, aki derékszögű vonalzóval dolgozott, mondván, hogy ezt a feladat szövege nem zárja ki. A kitűzötthöz hasonló feladatokban ,,vonalzó'' egyetlen élű, beosztás nélküli eszközt jelent, amellyel adott ponton át tetszőleges egyenest, illetve két adott pontot összekötő egyenest rajzolhatunk.
3. A szerkesztés teljes végrehajtásában sokat rövidíthetünk, elvégre a négy tükörképcsúcs előállítása nem független egymástól.
Lehet egy csapásra megfelezni a

K A

és

L C

(vagy

L D

) szakaszt, hiszen

A C

és

A D

közül legalább az egyik metszi a tengelyt.
Egy csúcs tükrözése után pedig a rajta átmenő oldalt vagy átlót tükrözve gyorsabban érünk célba.