Kezdőlap


Feladat:	Gy.2386	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1987/szeptember, 264. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Terület, felszín, Aranymetszés, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/január: Gy.2386

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A síkidomot az $A B$ és az $A C$ szakaszok három részre osztják: a $B A C$ körcikkre, valamint az $X$ és az $Y$ közepű körökből az $A B$ , illetve az $A C$ szakaszok által lemetszett körszeletekre (1. ábra).

1. ábra

A feltételből

B A C ∢ = 36^{\circ}

, és mivel

A X = B X

, ezért

A B X ∢ = 36^{\circ}

, vagyis a

B X C

szög is

72^{\circ}

-os. Az

A B C

és a

B X C

háromszögek tehát hasonlóak, ahonnan

\begin{matrix} \frac{A C}{C B} = \frac{C B}{C X} (2. ábra). \end{matrix}

(1)

2. ábra

Felhasználva, hogy

A X = X B = B C = 1

, továbbá, hogy

A C = A X + X C

, (1)-ből

1 + X C = \frac{1}{X C}

adódik, tehát

X C

pozitív gyöke a

t^{2} + t - 1 = 0

egyenletnek. Innen

X C = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2}

és így

A B = A C = \frac{\sqrt[]{5} + 1}{2}

.
Szükségünk lesz még az

A B X

háromszög

X

-ből induló magasságára. Ha

F

ennek talppontja, akkor Pitagorasz tétele szerint

\begin{matrix} F X^{2} & = A X^{2} - A F^{2} = 1 - {(\frac{\sqrt[]{5} + 1}{4})}^{2}, ahonnan \\ F X & = \frac{\sqrt[]{10 - 2 \sqrt[]{5}}}{4} . \end{matrix}

Ezek után rátérünk az egyes részek területének kiszámítására. A

B A C

körcikk középponti szöge

36^{\circ}

, így a körcikk

T_{1}

területe az

A C

sugarú kör területének tizedrésze:

\begin{matrix} T_{1} = \frac{π \cdot {A C}^{2}}{10} = \frac{π}{20} (3 + \sqrt[]{5}) . \end{matrix}

A két körszelet tükrös a

B C

felező merőlegesére, tehát egyenlő területűek. Az

A B

által az

X

közepű körből lemetszett körcikk

T_{2}

területét megkapjuk, ha a

108^{\circ}

középponti szögű

A X B

körcikk területéből levonjuk az

A X B

háromszög területét. Eszerint

\begin{matrix} T_{2} = \frac{108^{\circ}}{360^{\circ}} π \cdot {A X}^{2} - \frac{A B \cdot F X}{2} = \frac{3 π}{10} - \frac{\sqrt[]{10 + 2 \sqrt[]{5}}}{8} . \end{matrix}

Az adott síkidom területe ezek után

\begin{matrix} T = T_{1} + 2 T_{2} = \frac{π}{20} (15 + \sqrt[]{5}) - \frac{\sqrt[]{10 + 2 \sqrt[]{5}}}{4} \approx 1, 756 \end{matrix}

területegység.