Feladat: Gy.2384 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1987/szeptember, 263. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Irracionális egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/január: Gy.2384

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlet bal oldalán álló függvényt f-fel jelölve látható, hogy minden valós x-re f(x)=f(2-x), így ha x0 megoldás, akkor (2-x0) is az. Ha most x0≠1, akkor x0≠2-x0. Az x0=1 csak a p=2 esetben megoldás, így ha p≠2, akkor (1)-nek páros számú ‐ esetleg nulla ‐ megoldása van.
A p=2 esetben ‐ amikor tehát az x=1 megoldás ‐ még meg kell vizsgálnunk, nincs-e az egyenletnek további megoldása.
Az (u+v)3=u3+v3+3uv(u+v) azonosság felhasználásával köbre emelve kapjuk, hogy

x+(2-x)+3⋅x(2-x)3(x3+2-x3)=8.(2)

Vegyük észre, hogy ha x0 megoldása az (1)-gyel ekvivalens (2)-nek, azaz x03+2-x03=2, akkor x0-ra fenn kell álljon a (2)-ből rendezés után kapott
2+3⋅x0(2-x0)3⋅2=8,azazx0(2-x0)3=1.



Ismét köbre emelve és rendezve kapjuk, hogy (x0-1)2=0, azaz a p=2 esetben az (1) egyenletnek valóban nincs az 1-től különböző gyöke, így a feladat kérdésére a válasz: p=2.
 

Megjegyzés. Megmutatjuk, hogy ha x≠1, akkor 0<f(x)<2, (különben f(1)=2). f(x)>0 azonnal adódik, ha köbre emeljük az ekvivalens x3>x-23 egyenlőtlenséget.
A már idézett azonosság szerint
2=(x3)3+(2-x3)3=(x3+2-x3)3-3⋅2-x)3⋅(x3+2-x3)=(3)=f3(x)-3⋅x(2-x)3⋅f(x).



A (3) jobb oldalán f(x) együtthatója, x(2-x)3 kisebb vagy egyenlő, mint 1, hisz köbre emelve az (x-1)2≥0 egyenlőtlenséget kapjuk, és az is látszik, hogy ha x≠1, akkor nem lehet egyenlőség.
Azt kaptuk, hogy ha x≠1, akkor 2>f3(x)-3f(x), ahonnan rendezés és szorzattá alakítás után
0>f3(x)-3f(x)-2=(f(x)-2)(f(x)+1)2.(4)

A jobb oldalon álló szorzat második tényezője f(x)>0 miatt pozitív, így maga a szorzat csak úgy lehet negatív, ha az első tényező, f(x)-2 negatív, és éppen ezt akartuk bizonyítani.