Feladat: Gy.2383 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Benkő Dávid 
Füzet: 1987/szeptember, 262. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Indirekt bizonyítási mód, Oszthatósági feladatok, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/január: Gy.2383

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a két szám A=a9a8...a1a0¯ és B=b9b8...b1b0¯. Mivel 10|A+B, ezért a0+b0=0 vagy ‐ számjegyekről lévén szó ‐ a0+b0=10. Az első esetben a0=b0=0, és így az állítás igaz. Megmutatjuk, hogy a második eset nem lehetséges.
Ha ugyanis a0+b0=10, akkor az 1-es átvitele miatt csak úgy állhat 0 az összegben a tízesek helyén, ha a1+b1=9. Ekkor viszont a tízesek összeadásakor is 1 a maradék, ahonnan a2+b2=9, és így rendre kapjuk, hogy ai+bi=9, ha i≥1.
Így a két szám jegyeinek összege (a0+b0)+(a1+b1)+...+(a9+b9)=10+9⋅9, ami páratlan. Ez viszont nem lehet, hisz a feltétel szerint A és B ugyanazokból a számjegyekből áll, így ebben az összegben minden számjegy páros sokszor fordul elő, maga az összeg tehát páros.
Valóban nem lehetséges tehát a0+b0=10, így mindkét szám 0-ra végződik. A bizonyítandó állításnál ezért valamivel több igaz. A és B 10-zel is oszthatók.

 

Megjegyzések. 1. A feladatban adott tulajdonságú 10 jegyű számok léteznek, például A=1818181850,B=8181818150.
 

2. A fenti bizonyításban kihasználtuk, hogy A és B jegyeinek összege páros. A kapott ellentmondás nem jön létre, ha A és B páratlan sok jegyből áll, pl. A+B=1011. Az alábbi bizonyításból viszont kiderül, hogy a feladat állítása ilyenkor is igaz.
 

II. megoldás. Az első megoldás jelöléseit használva legyen most A+B=10k, ekkor A és B legfeljebb k jegyűek. Most is elég az olyan esetekkel foglalkozni, amelyekben a0+b0=10, és az előző megoldás szerint ilyenkor ai+bi=9, ha i≥1.
Megmutatjuk, hogy a0=b0, azaz mindkettő 5-tel egyenlő. Tegyük föl, hogy ez nem igaz, vagyis a0≠b0.
 

Mivel a két szám ugyanazokból a jegyekből áll, ekkor az egyik számban, pl. a B-ben az 1-esektől különböző helyi értékeken eggyel többször fordul elő az a0, mint az A-ban. Ez viszont ai+bi=9(i≥1) miatt azt jelenti, hogy az a0-t 9-re kiegészítő és így a0-tól különböző a' számjegy az egyesektől különböző helyi értékeken eggyel többször fordul elő A-ban, mint B-ben (ábra).
 
 

Ugyanakkor a B-ben az egyesek helyén álló b0 nem lehet a'-vel egyenlő, hiszen feltevésünk szerint b0+a0=10. Ekkor pedig A és B mégsem állhatnak ugyanazokból a számjegyekből, a' az A-ban eggyel többször fordul elő, mint a B-ben.
Ezzel beláttuk, hogy a0+b0=10 esetén nem lehet a0≠b0, vagyis A is és B is 5-re végződik.
 

Megjegyzés. Az első megoldásban láttuk, hogy A+B=1010 esetén A és B utolsó szám jegye 0. Ekkor viszont A/10-re és B/10-re is teljesülnek a feladat feltételei, így a II. megoldás szerint A/10 és B/10 utolsó jegye 5, vagyis a feladatban vizsgált A és B számok 50-nel is oszthatók.