Kezdőlap


Feladat:	Gy.2381	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bukszár József , Drasny Gábor , Keleti Tamás , Kontra Péter
Füzet:	1987/szeptember, 261. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Térbeli ponthalmazok távolsága, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/december: Gy.2381

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltétel szerint az $A$ pont nincs rajta az $e$ egyenesen, így ezek egyértelműen meghatároznak egy $S$ síkot. Forgassuk el a másik pontot, $B$ -t az adott egyenes körül úgy, hogy $B'$ elforgatottja az $S$ síkba kerüljön, mégpedig az $e$ egyenes $A$ -val ellentétes oldalára. Ekkor a $B' A$ szakasz metszi az $e$ egyenest. Az állítjuk, hogy ez a $P$ metszéspont a keresett pont.

Legyen ugyanis

Q

e

egyenes tetszőleges,

P

-től különböző pontja. A háromszög-egyenlőtlenség szerint az

A Q B'

háromszögben

\begin{matrix} A Q + B' Q > A B' = A P + B' P . \end{matrix}

B'

pont származtatása miatt ugyanakkor

Q B' = Q B

és

P B' = P B

, vagyis:

A Q + B Q > A P + B P

, tehát a szóban forgó távolságok összege valóban a fenti

P

pontra minimális.

Megjegyzés. Ha a

B

pont is az

S

síkban van, mégpedig az

e

egyenesnek az

A

-val megegyező oldalán, akkor feladatunk egy ,,klasszikus'' síkbeli feladattá egyszerűsödik. Ennek közismert megoldása során a

B

pontot kell tükröznünk az

e

egyenesre. A síkbeli tengelyes tükrözés viszont megegyezik a térbeli, tengely körüli

180^{\circ}

-os elforgatással, tehát a síkbeli változat az általunk adott megoldás speciális esetének tekinthető.