Feladat: Gy.2380 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Pásztor Gábor 
Füzet: 1987/november, 388 - 389. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Beírt háromszög, Háromszögek nevezetes tételei, Indirekt bizonyítási mód, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/december: Gy.2380

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy nem léteznek a feltételeknek eleget tevő háromszögek. A megoldás során többször fel fogjuk használni a következő ‐ nyilvánvaló ‐ lemmát:
Ha egy egyenes egy háromszög két oldalegyenesét a csúcsoktól különböző pontokban metszi, akkor az egyenes a háromszög egyik csúcsán sem halad át. Mivel egy háromszög két különböző oldalegyenesén a háromszögeknek mindhárom csúcsa rajta van, a lemma következik abból, hogy két metsző egyenesnek pontosan egy közös pontja van.
Eredeti állításunkat ezután indirekt módon bizonyítjuk:
Tegyük fel, hogy a H1 és H2 háromszögek páronként egymásba vannak írva. Ekkor a H1 csúcsai nem lehetnek a H2 három különböző oldalegyenesén, mert egyébként a H1 oldalegyeneseire és a H2 háromszögre alkalmazva a lemmát, kapjuk, hogy a H1 oldalegyenesei nem haladhatnak át a H2 egyik csúcsán sem. A H1 mindhárom csúcsa másfelől nyilván nem lehet a H2 háromszögnek ugyanazon az oldalegyenesén.

 
 
1. ábra
 

A H1 csúcsai tehát csak úgy helyezkedhetnek el a H2 oldalegyenesein, hogy ezek egyikén két csúcs van, egy másikon egy, a harmadikon pedig egy sem. Feltehető tehát, hogy a két háromszög, H1=A1B1C1 és H2=A2B2C2 az 1. ábrán látható módon helyezkedik el. A lemma szerint ekkor a H1 háromszög A1B1 és A1C1 oldalegyenesei a H2 háromszög egyetlen csúcsát sem tartalmazzák, és így H2 mindhárom csúcsának a B1C1 egyenesen kell lennie. Ez nyilván nem lehet, így kiinduló feltevésünk hamis volt, páronként egymásba írt két háromszög tehát valóban nem létezik.
 

Megjegyzések: 1. A Gy. 2341. megoldása során (KöMaL 36. évfolyam 10. szám 448. old.) láttuk, hogy a térben már létezik két, páronként egymásba írt tetraéder.
2. Három darab háromszög már megadható úgy, hogy az első a másodikba, a második a harmadikba, a harmadik pedig az elsőbe van írva (2.ábra).
 
 
2. ábra