A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megmutatjuk, hogy nem léteznek a feltételeknek eleget tevő háromszögek. A megoldás során többször fel fogjuk használni a következő ‐ nyilvánvaló ‐ lemmát: Ha egy egyenes egy háromszög két oldalegyenesét a csúcsoktól különböző pontokban metszi, akkor az egyenes a háromszög egyik csúcsán sem halad át. Mivel egy háromszög két különböző oldalegyenesén a háromszögeknek mindhárom csúcsa rajta van, a lemma következik abból, hogy két metsző egyenesnek pontosan egy közös pontja van. Eredeti állításunkat ezután indirekt módon bizonyítjuk: Tegyük fel, hogy a és háromszögek páronként egymásba vannak írva. Ekkor a csúcsai nem lehetnek a három különböző oldalegyenesén, mert egyébként a oldalegyeneseire és a háromszögre alkalmazva a lemmát, kapjuk, hogy a oldalegyenesei nem haladhatnak át a egyik csúcsán sem. A mindhárom csúcsa másfelől nyilván nem lehet a háromszögnek ugyanazon az oldalegyenesén.
1. ábra A csúcsai tehát csak úgy helyezkedhetnek el a oldalegyenesein, hogy ezek egyikén két csúcs van, egy másikon egy, a harmadikon pedig egy sem. Feltehető tehát, hogy a két háromszög, és az 1. ábrán látható módon helyezkedik el. A lemma szerint ekkor a háromszög és oldalegyenesei a háromszög egyetlen csúcsát sem tartalmazzák, és így mindhárom csúcsának a egyenesen kell lennie. Ez nyilván nem lehet, így kiinduló feltevésünk hamis volt, páronként egymásba írt két háromszög tehát valóban nem létezik. Megjegyzések: 1. A Gy. 2341. megoldása során (KöMaL 36. évfolyam 10. szám 448. old.) láttuk, hogy a térben már létezik két, páronként egymásba írt tetraéder. 2. Három darab háromszög már megadható úgy, hogy az első a másodikba, a második a harmadikba, a harmadik pedig az elsőbe van írva (2.ábra).
2. ábra
|