Feladat: Gy.2379 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1987/május, 216. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Terület, felszín, Trapézok, Négyszögek középvonalai, Négyszögek geometriája, Számtani sorozat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/december: Gy.2379

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy a kis négyszögek területei számtani sorozatot alkotnak. Ezt felhasználva a nagy négyszög területét már könnyen ki tudjuk számítani
Legyenek az eredeti négyszög felosztott szemközti oldalai AB és CD, és vágjuk a kis négyszögeket egy-egy átlójuk mentén háromszögekre az 1. ábra szerint ‐ tehát úgy, hogy a megrajzolt átlóknak ne legyen közös pontja.

 
 
1. ábra
 

Állításunk következne abból, hogy az AB ‐ és ugyanígy a CD ‐ oldalra támaszkodó háromszögek területei számtani sorozatot alkotnak, hisz így a kis négyszögek területét egy-egy számtani sorozat megfelelő elemeinek összegeként kapjuk.
A feltétel szerint a szóban forgó háromszögek AB-re illeszkedő oldalai egyenlők, ezért elegendő megmutatni, hogy az ehhez az oldalhoz tartozó magasságok ‐ a CD osztópontjaiból a szemközti, AB oldalra bocsátott merőlegesek ‐ számtani sorozatot alkotnak.
 
 
2. ábra
 

Tekintsünk ehhez három szomszédos osztópontot a CD oldalon és a három megfelelő magasságot (2 ábra). Abban a trapézban, amelynek a két "szélső'' magasság a két alapja, a "középső'' magasság középvonal, hossza tehát az alapok számtani közepe. Ez pedig éppen azt jelenti, hogy a szóban forgó magasságok valóban számtani sorozatot alkotnak.
Az eredeti négyszög T területe tehát egy olyan számtani sorozat első 100 tagjának összege, amelynek első és századik elemét ismerjük. Az első 100 elem összege eszerint
T=a1+a1002⋅100=150egység.

 
Megjegyzés: A megoldás során a számtani sorozatok két alapvető tulajdonságát használtuk fel, melyek a definíció alapján könnyen igazolhatók.
Egyrészt ha un és vn két számtani sorozat, a és b tetszőleges valós számok, akkor a⋅un+b⋅vn is számtani sorozat, másrészt hogy un akkor és csak akkor számtani sorozat, ha bármely három szomszédos elem közül a középső a két szélsőnek a számtani közepe.