Kezdőlap


Feladat:	Gy.2377	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1987/május, 213 - 214. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/december: Gy.2377

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A bizonyítandó egyenlőtlenség bal oldalát

\begin{matrix} 5 (a b + b c + c d + a c + a d + b d) + 3 (a c + a d + b d) \end{matrix}

alakba írva látható, hogy az összeg első tagjában az

a

b

c

d

számokból készíthető hat darab szorzat összege áll, ami nem más, mint

{(a + b + c + d)}^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})

fele. A feltétel szerint a négy szám összege

0,

így (1) bal oldala a

\begin{matrix} - \frac{5}{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) + 3 (a c + a d + b d), \end{matrix}

a bizonyítandó egyenlőtlenség pedig a

\begin{matrix} 6 (a c + a d + b d) ≦ 5 (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) \end{matrix}

(2)

alakot ölti.
A (2) bal oldalán a ,,nem szimmetrikus''

a c + a d + b d

összeg

(a + b) (c + d) - b c

alakba írható, és itt a különbség első tagjában a tényezők,

(a + b)

és

(c + d)

ellenkező előjelűek, hiszen összegük a feltétel szerint

0.

Ezért

(a + b) (c + d) ≦ 0,

azaz (2) bal oldala,

6 [(a + b) (c + d) - b c] ≦ - 6 b c

, és így elegendő megmutatnunk, hogy

\begin{matrix} - 6 b c ≦ 5 (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) . \end{matrix}

Ez viszont könnyen látható, hiszen

\begin{matrix} 5 (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) + 6 b c = 5 (a^{2} + d^{2}) + 4 ({\underset{︸}{b^{2} + c^{2} + 2 b c}}_{{(b + c)}^{2}}^{}) + ({\underset{︸}{b^{2} + c^{2} - 2 b c}}_{{(b - c)}^{2}}^{}) \end{matrix}

négyzetszámok összegeként valóban nem lehet negatív.

II. megoldás. A feltételül adott

a + b + c + d = 0

egyenlőséget négyzetre emelve és

3

-mal szorozva kapjuk, hogy

\begin{matrix} 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) + 6 (a b + b c + c d) + 6 (a c + a d + b d) = 0, \end{matrix}

ahonnan rendezés után

\begin{matrix} 5 (a b + b c + c d) + 8 (a c + a d + b d) + a b + b c + c d - 2 (a c + a d + b d) + \\ + 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) = 0 \end{matrix}

adódik.
Ezt felhasználva azt kell igazolnunk, hogy

\begin{matrix} 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) + a b + b c + c d - 2 (a c + a d + b d) ≧ 0. \end{matrix}

A kapott egyenlőtlenség bal oldala az alábbi alakba írható:

\begin{matrix} {(a - c)}^{2} + {(a - d)}^{2} + {(b - d)}^{2} + {(\frac{a}{2} + b)}^{2} + {(\frac{b}{2} + c)}^{2} + {(c + \frac{d}{2})}^{2} + \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + d^{2}), \end{matrix}

ami valóban nem lehet negatív.

Megjegyzés. Mindkét megoldásból látható, hogy egyenlőség csak az

a = b = c = d = 0

esetben áll fenn.