Kezdőlap


Feladat:	Gy.2376	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1987/május, 212 - 213. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Műveletek polinomokkal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/december: Gy.2376

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A négyzetre emeléseket elvégezve, rendezés után az

\begin{matrix} x^{2} + 2 x y + y^{2} - 18 x - 81 = 0 \end{matrix}

egyenlethez jutunk. Ezt az x hatványai szerint rendezve

\begin{matrix} x^{2} + 2 (y - 9) x + y^{2} - 81 = 0 \end{matrix}

adódik, ahonnan teljes négyzetté alakítás után

\begin{matrix} {(x + y - 9)}^{2} = 9 (18 - 2 y) . \end{matrix}

(2)

Mivel a (2) bal oldalán négyzetszám áll, (2)-ben csak úgy állhat egyenlőség, ha

18 - 2 y

egy egész szám négyzete, hiszen együtthatója, a

9

ugyancsak négyzetszám. A feladatban

y ≧ 0,

ezért a

18 - 2 y

lehetséges értékei a

18

-nál nem nagyobb páros négyzetszámok, a

0,

4

és a

16.

A megfelelő

y

értékek ekkor

9, 7,

illetve

1.

x

értékét ezután a (2)-ből nyerhető másodfokú egyenletből kapjuk. Ha

y = 9,

akkor

x = 0,

y = 7,

akkor

x = 8

vagy

x = - 4,

végül ha

y = 1,

akkor

x = 20

vagy

x = - 4.

Figyelembe véve még, hogy

x

és

y

nemnegatív egész számok, kapjuk, hogy az (1) egyenletnek három megoldása van. Ezek

\begin{matrix} x_{1} & = 0, x_{2} = 8, x_{3} = 20; \\ y_{1} & = 9, y_{2} = 7, y_{3} = 1. \end{matrix}

Mivel átalakításaink ekvivalensek voltak, ezért a talált megoldások valóban kielégítik (1)-et.