Kezdőlap


Feladat:	Gy.2370	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1987/szeptember, 260. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Azonosságok, Háromszögek nevezetes tételei, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/november: Gy.2370

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szorozzuk meg az (1) egyenlet mindkét oldalát $a \cdot b \cdot c$ -vel!

\begin{matrix} b c^{2} - b^{2} c + a^{2} c - a c^{2} + a b^{2} - a^{2} b = 0. \end{matrix}

Mivel

a \cdot b \cdot c \neq 0

, ezért az így kapott egyenlet (1)-gyel ekvivalens. A kapott egyenlőség bal oldala szorzattá alakítható, hiszen

\begin{matrix} b c^{2} - b^{2} c + a^{2} c - a c^{2} + a b^{2} - a^{2} b = (c a^{2} - b a^{2}) + (c^{2} b - b^{2} c) - (c^{2} a - b^{2} a) = \\ = (c - b) [a^{2} + b c - (c + b) a] = (c - b) [(a^{2} - a c) - (b a - b c)] = (c - b) (a - c) (a - b) . \end{matrix}

Ezek szerint (1) pontosan akkor igaz, ha:

\begin{matrix} (c - b) (a - c) (a - b) = 0. \end{matrix}

Tudjuk, hogy egy szorzat pontosan akkor

0

, ha legalább az egyik tényezője

0

, ezért (1) pontosan akkor teljesül, ha a háromszög oldalai közt van két egyforma. Az

a

b

c

oldalú háromszögnek tehát legalább két szöge megegyezik.
Ezzel a feladatot megoldottuk.