Kezdőlap


Feladat:	Gy.2366	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Stefán Judit
Füzet:	1987/április, 165. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Diofantikus egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Oszthatósági feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/november: Gy.2366

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $a$ , $b$ és $c$ jelöli a három számot, akkor a feltételek szerint

\begin{matrix} a + b + c = 15; & (1) \\ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{71}{105} . & (2) \end{matrix}

A (2) bal oldalán közös nevezőre hozva beszorzás után kapjuk, hogy

\begin{matrix} 105 (a b + b c + c a) = 71 a b c . \end{matrix}

Innen

105 | 71 a b c

és mivel

(105,71) = 1

, ezért

105 | a b c

. Miután pedig

105 = 3 \cdot 5 \cdot 7

, a három szám,

a, b

és

c

között van 3-mal osztható, 5-tel osztható és 7-tel osztható is, hiszen egy prímszám ‐ a 3, az 5 vagy a 7 ‐ csak úgy oszthat egy szorzatot ‐

a b c

-t ‐, ha osztja valamelyik tényezőjét is. A 3, az 5 és a 7 közül bármely kettőnek a szorzata legalább 15, ezért sem az

a

, sem a

b

, sem pedig a

c

nem lehet közülük kettőnek is a többszöröse, mert ekkor összegük nagyobb volna 15-nél.
A három szám,

a, b

és

c

közül tehát az egyik a 3-nak, a másik az 5-nek, a harmadik pedig a 7-nek többszöröse. Miután

3 + 5 + 7 = 15

, a számok pedig pozitívak, ez csak úgy lehet, ha az egyik szám 3, a másik 5, a harmadik pedig 7. Ekkor (1) nyilván teljesül, és azonnal látható, hogy (2) is.
A keresett három szám tehát a 3, az 5 és a 7.

Megjegyzések. 1. A

105 | a b c

feltételből másképp is célhoz érhetünk. A számtani és a mértani közép közti egyenlőtlenség szerint

\begin{matrix} \frac{a + b + c}{3} ≧ \sqrt[3]{a b c}, \end{matrix}

ahonnan köbre emelés után

a b c ≦ {(\frac{a + b + c}{3})}^{3} = 125

. Innen csak

a b c = 105

lehetséges. Mindhárom szám nagyobb 1-nél, hisz reciprokuk összege kisebb, mint 1, tehát

105 = 3 \cdot 5 \cdot 7

miatt a számok: 3, 5 és 7.

2. A (2)-ből nyerhető

\frac{a b + a c + b c}{a b c} = \frac{71}{105}

egyenlőségből sokan következtettek arra, hogy

a b + a c + b c = 71 és a b c = 105,

azaz a két törtben külön-külön egyenlő a számláló és a nevező. Bár jelen esetben valóban ez a helyzet, általában elképzelhető, hogy a

\frac{71}{105}

a bal oldali tört egyszerűsített alakja, így a következtetés hibás. Ugyanígy az sem igaz, hogy a 105 az

a, b

és

c

legkisebb közös többszöröse.
Mindkét állításra ellenpélda az

\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} = \frac{17}{21}

egyenlőség, hiszen

2 \cdot 6 \cdot 7 \neq 21

és

[2, 6, 7] \neq 21.