Vizsgáljuk meg, hol lehetnek a kocka csúcsai. A tetraéder élén nem lehet a kockának csúcsa, mert ekkor a kocka két, egymással hegyesszöget bezáró sík ‐ a tetraéder két szomszédos lapsíkja ‐ által meghatározott térrészben lenne úgy, hogy a síkok metszésvonalán is volna pontja, ez pedig nem lehetséges. Ennek a szemlélet alapján nyilvánvalónak tűnő állításnak a bizonyítását ‐ annak hosszadalmas volta miatt ‐ elhagyjuk. Az olvasó kísérelje meg önállóan elvégezni a bizonyítást.
A kocka csúcsai tehát a tetraéderlapok belső pontjai. Nézzük meg, hogy a $8$ csúcs hányféleképpen helyezkedhet el a $4$ lapon. Mivel $8/4=\mathrm{2,}$ így van olyan tetraéderlap, amelyen legalább $2$ csúcs van. Ha egyiken sincs $2$-nél több, akkor mind a $4$ lapon pontosan $2$-nek kell lennie, ez az első eset. Ha egy lapon $3$ kockacsúcs van, akkor e $3$ csúcs a kocka egy lapjának $3$ csúcsa kell legyen. Minden más esetben ugyanis az e $3$ kockacsúcsra illeszkedő sík ‐ amely most a tetraéder lapsíkja ‐ metszi a kockát, ami nem lehet. Ebben a második esetben tehát a kocka egy lapja a tetraéder egy lapjára illeszkedik. A csúcsok elhelyezkedését illetően több lehetőség nincs, ugyanis $4$-nél több kockacsúcs nem lehet egy síkban.
Vizsgáljuk most meg a talált két lehetőséget.

 

1.a ábra

 

1.b ábra

 

1.c ábra

 

2. ábra

 

3. ábra

(I'≡M';J'≡O';K'≡N';L'≡P'). Az $IJKL$ sík a tetraédert egy téglalapban metszi, ennek képe a $Q\text{'}R\text{'}S\text{'}T\text{'}$ téglalap, az $MNOP$ sík és a tetraéder metszetének képe pedig a $V\text{'}W\text{'}X\text{'}Y\text{'}$ téglalap. A kocka képe éppen a $Q\text{'}R\text{'}S\text{'}T\text{'}$ és $V\text{'}W\text{'}X\text{'}Y\text{'}$ téglalapok metszete, tehát a metszetnek négyzetnek kell lennie, vagyis a két téglalap egybevágó. Ez azt jelenti, hogy az $IJKL$ sík ugyanolyan messze van a $BC$ éltől, mint az $MNOP$ sík az $AD$ éltől. Ha a két síkot egymás felé mozgatjuk úgy, hogy a $BC$-től, illetve $AD$-től való távolságuk mindig egyenlő, akkor távolságuk csökkenésével nőni fog az általuk az előbbiek alapján meghatározott négyzet oldala. Ezért lesz egy olyan egyértelműen meghatározott állapot, amikor a két sík távolsága megegyezik az $I\text{'}J\text{'}K\text{'}L\text{'}$ négyzet oldalával, vagyis amikor az $IJKLMNOP$ test kocka.
Tehát egyértelműen létezik olyan kocka, amelynek csúcsai közül a tetraéder minden lapjára $2$ esik.

 

 

4. ábra

 

2. A másik esetben a tetraéder egyik lapján 4 csúcsa van a beírt kockának. Legyen ez a lap $ABC$. A 4 kockacsúcs a kocka egyik lapjának 4 csúcsa kell hogy legyen, különben az $ABC$ sík metszené a kockát, ami lehetetlen. Legyen ez a 4 csúcs $I$, $J$, $K$, $L$, a kocka másik négy csúcsa pedig sorra $M$, $N$, $O$, $P$. Tekintsük az $MNOP$ síknak a tetraéderrel vett metszetét. Ez egy $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ szabályos háromszög, mert az $MNOP$ sík párhuzamos a szabályos tetraéder $ABC$ lapjával, és az $MNOP$ négyzet minden csúcsa ennek a háromszögnek a kerületén van. Ez csak az 5. ábrán látható, egyértelműen meghatározott esetben lehet. Tehát az $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ metszet (szimmetriától eltekintve) egyértelműen meghatározza az $M$, $N$, $O$, $P$ pontokat, és ezek merőleges vetületeként az $I$, $J$, $K$, $L$ pontokat. Általános esetben ezek a pontok egy négyzetes hasáb csúcsai lesznek, és az $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ sík egyetlen helyzetében lesz ez a hasáb kocka. Tehát ebben az esetben is egyetlen kocka van, ami a tetraéderbe írható.
Ezek után rátérünk a kockák élhosszának kiszámítására.

 

 

5. ábra

 

Először a második esetet vizsgáljuk. A tetraéder élhossza legyen egységnyi. Ekkor a tetraéder testmagassága $\sqrt[]{2/3}\mathrm{.}$ A 4. és az 5. ábra jelöléseit használva : $DA\text{'}=p\mathrm{.}$ Mivel a $DA\text{'}C\text{'}$ háromszög szabályos, így $A\text{'}C\text{'}=p;$ legyen a kocka éle $a\mathrm{,}$ ekkor $C\text{'}P=PO=PM=a\mathrm{.}$
A $C\text{'}PO$ háromszög szabályos, így $C\text{'}W=\sqrt[]{3}\cdot a/\mathrm{2,}$ amiből $C\text{'}V=a\left(1+\sqrt[]{3}/2\right)\mathrm{,}$ tehát

$\begin{array}{c}{\displaystyle p=a\cdot \frac{1+\sqrt[]{3}/2}{\sqrt[]{3}/2}=a\cdot \frac{2+\sqrt[]{3}}{\sqrt[]{3}}\mathrm{.}}\end{array}$

(1)

Mivel a $DABC$ tetraéder hasonló a $DA\text{'}B\text{'}C\text{'}$ tetraéderhez, így a magasságuk aránya megegyezik éleik arányával, vagyis a $DA\text{'}B\text{'}C\text{'}$ tetraéder magassága $p\cdot \sqrt[]{2/3}\mathrm{.}$ A két tetraéder magasságának különbsége éppen a kocka élhossza, tehát

$\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{2/3}-p\cdot \sqrt[]{2/3}=a\mathrm{,}}\end{array}$

és $p$ helyére $\left(1\right)$-et beírva

$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{3}}=a\cdot \frac{\sqrt[]{2}\left(2+\sqrt[]{3}\right)}{3}+a\mathrm{.}}\end{array}$

Tehát a kocka éle ebben az esetben :

$\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{\sqrt[]{6}}{3+\sqrt[]{6}+2\sqrt[]{2}}\approx 0\mathrm{,}2959.}\end{array}$

Az első esetben szintén legyen a tetraéder élhossza $\mathrm{1,}$ és jelölje $a$ a kocka élhosszát, $p$ az $MNOP$ síknak $AD$-től vett távolságát. Nyilván ugyanez a $p$ lesz az $IJKL$ síknak a $BC$-től vett távolsága (a 2. ábra jelöléseivel). Legyen $m$ az $AD$ és $BC$ egyenesek távolsága, ami nem más, mint felezőpontjaik ‐ $Z\mathrm{,}$ illetve $R$ ‐ távolsága. Mivel az $AZR$ háromszög derékszögű, így Pitagorasz tételéből $m^2=A{R}^2-A{Z}^2\mathrm{,}$ és mivel $AR=\sqrt[]{3}/2$, $AZ=1/\mathrm{2,}$ ezért $m=1/\sqrt[]{2}\mathrm{.}$ Másrészt nyilván $m=p+a+p\mathrm{,}$ tehát

$\begin{array}{c}{\displaystyle a+2p=1/\sqrt[]{2}\mathrm{.}}\end{array}$

(2)

Ha a 2. ábrán meghosszabbítjuk az $MN$ és $OP$ egyeneseket az $AB$ és $AC$ szakaszokig, akkor a kapott $VW$ szakasz hosszára igaz a következő aránypár: $VW:BC=p:m\mathrm{.}$ De $VW=a$, $BC=1$, $m=1/\sqrt[]{2}$, így $p=a/\sqrt[]{2}\mathrm{.}$
Ezt (2)-be beírva $a+\sqrt[]{2}a=1/\sqrt[]{2}\mathrm{,}$ így a kocka éle ebben az esetben

$\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt[]{2}\left(1+\sqrt[]{2}\right)}=1-\frac{\sqrt[]{2}}{2}\approx 0\mathrm{,}2929.}\end{array}$

Mindezek szerint a két kocka élhossza különböző, vagyis a szabályos tetraéderbe két különböző élhosszúságú kocka írható.