Feladat: Gy.2363 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1987/április, 162 - 163. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/október: Gy.2363

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a feladatot megoldottnak! Legyen az adott k1 kör középpontja O1, a szerkesztendő k2 kör középpontja pedig O2, az adott pontok A és B, ezen kívül k1 és k2 egyik metszéspontja C. A feltétel szerint a két kör C-beli érintői merőlegesek egymásra. A k1 kör C-beli érintőjére viszont az O1C egyenes is merőleges, és mivel egy adott egyenesre egy adott pontban csak egy merőleges állítható, az O1C egyenes érinti a k2 kört, mégpedig éppen a C pontban (1. ábra).

 
 
1. ábra
 

Feltehetjük, hogy az A és B pontok egyike ‐ például A ‐, különbözik O1-től. Ekkor az O1A egyenes még egy A' pontban is metszi a k2 kört. (Előfordulhat, hogy A≡A'.) Ekkor az érintő és a szelődarabok közti ismert összefüggés szerint:
O1C2=O1A⋅O1A',vagyis  O1CO1A=O1A'O1C.(1)


Az O1C távolság a k1 kör r sugaraként adott. Az (1) összefüggés alapján ezért O1A' a negyedik arányos ismert szerkesztésével kapható (2. ábra). Az O1A' távolság ismeretében pedig a szerkesztés már könnyen elvégezhető.
 
 
2. ábra
 

Az O1A félegyenesen megszerkesztjük az A' pontot. Ha A és A' különbözőek, akkor A, A' és B a k2 kör három pontja, három adott ponton átmenő kört pedig az ismert módon tudunk szerkeszteni. Ha A és A' egybeesik, akkor az O1A egyenes az A pontban érinti a k2 kört, tehát k2 középpontja megegyezik az A-n átmenő, O1A-ra merőleges egyenes és AB szakaszfelező merőlegesének metszéspontjával. O2 ismeretében a k2 kör nyilván szerkeszthető.
Mivel gondolatmenetünk megfordítható, az ilyen módon szerkesztett k2 kör eleget tesz feltételeinknek.
Általában egy megoldás van (ha a B pontból kiindulva szerkesztjük meg az A'-nek megfelelő B'-t, akkor az A, B, A', B' pontok egy körön vannak), kivéve ha O, A és B egy egyenesre esnek. Ilyenkor vagy végtelen sok megoldás van (ha A'≡B), vagy pedig nincs megoldás (ha A'≢B).