Kezdőlap


Feladat:	Gy.2362	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Knezsek Gyula
Füzet:	1987/április, 161 - 162. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Terület, felszín, Trapézok, Mértani sorozat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/október: Gy.2362

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az $A B M$ és a $C D M$ háromszögek hasonlóak, mert szögeik egyenlők. Tudjuk, hogy hasonló háromszögek esetén a megfelelő oldalak aránya a háromszögek területei arányának négyzetgyöke, tehát

\begin{matrix} \frac{C D}{A B} = \sqrt[]{\frac{8}{2}} = 2, azaz C D = 2 \cdot A B . \end{matrix}

A trapéz területének kiszámításához szükségünk van az

A B

és

C D

alapok távolságára, amely az

A B M

és a

C D M

háromszögek

A B

, illetve

C D

oldalhoz tartozó magasságának összege. Az oldalhoz tartozó magasságot a terület ismeretében meghatározva kapjuk, hogy a trapéz párhuzamos oldalainak

m

távolsága:

\begin{matrix} m = \frac{2 \cdot T_{A B M}}{A B} + \frac{2 \cdot T_{C D M}}{C D} = \frac{4}{A B} + \frac{16}{C D} = \frac{4}{A B} + \frac{8}{A B} = \frac{12}{A B} . \end{matrix}

Innen a trapéz

T

területe:

\begin{matrix} T = \frac{1}{2} (A B + C D) \cdot m = \frac{1}{2} (A B + 2 \cdot A B) \cdot \frac{12}{A B} = 18. \end{matrix}

Ezzel a feladatot megoldottuk.

II. megoldás. Megmutatjuk, hogy az

A B M, B C M, C D M

háromszögek területe ‐ ebben a sorrendben ‐ mértani sorozatot alkot.
Az

A B M

és a

B C M

háromszögek

B

csúcshoz tartozó magassága közös, tehát területük aránya megegyezik

B

-vel szemközti oldaluk arányával:

\begin{matrix} \frac{T_{A B M}}{T_{B C M}} = \frac{A M}{M C} . \end{matrix}

(1)

B C M

és a

C D M

háromszögeknek pedig a

C

csúcshoz tartozó magassága közös, tehát:

\begin{matrix} \frac{T_{B C M}}{T_{C D M}} = \frac{B M}{M D} . \end{matrix}

(2)

Mivel az

A B M

és a

C D M

háromszögek hasonlók, (1) és (2) jobb oldala egyenlő, tehát a területek valóban mértani sorozatot alkotnak. Ezért ha

T_{A B M} = T, T_{C D M} = t,

akkor

T_{B C M} = \sqrt[]{T t .}

Tudjuk, hogy a

D A M

háromszög területe megegyezik a

B C M

háromszög területével, (ez a fenti bizonyításból is kiderül, de egyszerűbben kapjuk, ha mindkettőhöz hozzávesszük a

C D M

háromszöget, és így az egyenlő területű

B C D

és

A C D

háromszögekhez jutunk) tehát a trapéz területe :

\begin{matrix} T + t + 2 \sqrt[]{T t} . \end{matrix}

Adatainkat behelyettesítve, a keresett terület:

2 + 8 + 2 \cdot \sqrt[]{2 \cdot 8} = 18.