Kezdőlap


Feladat:	Gy.2359	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1987/március, 116 - 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Másodfokú diofantikus egyenletek, Diofantikus egyenletek, Négyzetszámok összege, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/október: Gy.2359

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltétel szerint $A^{2} = {(k + 1)}^{3} - k^{3}$ . A jobb oldalon a köbreemelést elvégezve kapjuk, hogy

\begin{matrix} A^{2} = 3 k^{2} + 3 k + 1. & (1) \end{matrix}

Az egyenlőség jobb oldalát teljes négyzetté alakítva

\begin{matrix} A^{2} = 3 {(k + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}, \end{matrix}

ahonnan mindkét oldalt 4-gyel szorozva és rendezve

\begin{matrix} 4 A^{2} - 1 = 3 {(2 k + 1)}^{2} adódik . \end{matrix}

(2)

A bal oldal két négyzetszám különbségeként szorzattá alakítható, és a tényezők,

2 A - 1

és

2 A + 1

, relatív prímek. Tetszőleges

d

közös osztójukra ugyanis

d | (2 A + 1) - (2 A - 1) = 2

és

d = 2

nem lehet, hisz mindkét szám páratlan.
Mivel pozitív egész számok egyértelműen bonthatók prímszámok szorzatára, két, közös prímtényező nélküli pozitív egész,

2 A - 1

és

2 A + 1

szorzata csak úgy lehet egyenlő egy négyzetszám 3-szorosával, ha egyikük szintén ilyen tulajdonságú, azaz egy négyzetszám 3-szorosa, másikuk pedig négyzetszám.
Megmutatjuk, hogy a (

2 A + 1

) tényező nem lehet négyzetszám. A feltétel szerint ugyanis

A^{2}

szomszédos köbszámok különbségeként páratlan szám, és így

A

is az. Ekkor viszont

2 A + 1

-et 4-gyel osztva 3 maradékot kapunk, ami négyzetszámra nem teljesülhet. (A négyzetszámok 0 vagy 1 maradékot adnak 4-gyel osztva.)
Ezek szerint az

A^{2} = {(k + 1)}^{3} - k^{3}

feltételnek egész

A

szám mellett való teljesüléséhez szükséges, hogy

2 A - 1

négyzetszám legyen, mégpedig nyilván egy páratlan szám, (

2 m + 1

) négyzete, ahol

m

egész. Az így adódott részfeltétel

\begin{matrix} 2 A - 1 = {(2 m + 1)}^{2} = 4 m^{2} + 4 m + 1, \end{matrix}

(3)

amiből pedig

\begin{matrix} A = 2 m^{2} + 2 m + 1 = m^{2} + {(m + 1)}^{2}, \end{matrix}

és éppen ezt kellett bizonyítanunk.

Megjegyzések. 1. Az már nem volt feladatunk, hogy ilyen

A

szám létezését megmutassuk, ilyet keressünk. A feladat így is fogalmazható; ha van olyan, amelyre

A^{2} = {(k + 1)}^{3} - k^{3}

, arra a számra

A = m^{2} + {(m + 1)}^{2}

. Nem nehéz azonban ezzel kiegészíteni a föntieket.
A (3) feltétel önmagában természetesen nem elegendő (1) teljesüléséhez, ehhez az ügyesen leválasztott

2 A + 1 = 3 {(2 p + 1)}^{2}

feltételnek is teljesülnie kellene. Eszerint

m

-ként csak olyan egész szám jön szóba, amelyre

\begin{matrix} 2 (2 m^{2} + 2 m + 1) + 1 = 12 p^{2} + 12 p + 3, \end{matrix}

vagyis

m (m + 1) = 3 p (p + 1)

, például mindjárt

m = 0

és

p = 0

vagy ‐

1

. Ekkor

A = 1

, amelyre valóban

1 = 1^{3} - 0^{3}

, azaz

k = 0

, és bizonyításunknak megfelelően

A = 0^{2} + 1^{2}

. (Mellesleg

p = 0

-ból

2 p + 1 = 1

és

2 A + 1 = 3 = 3 \cdot 1^{2}

is teljesül).
2. Bár további elemzés még kevésbé feladatunk, röviden említjük, hogy a következő megfelelő alapszám

A = 13

, amelyre egyrészt

A^{2} = 169 = 8^{3} - 7^{3}

, másrészt

A = 2^{2} + 3^{2} .

Erősebb eszközökkel azt is kaphatjuk, hogy végtelen sok megfelelő

A

szám van:

\begin{matrix} A_{1} = 1, A_{2} = 13, A_{3} = 181, A_{4} = 2521, \end{matrix}

és ezekre

\begin{matrix} A_{i + 1} = 14 A_{i} - A_{i - 1} . \end{matrix}

(4)

A megfelelő

k

és

m

értékek:

\begin{matrix} k_{1} = & 0 & k_{2} = & 7 & k_{3} = & 104 & k_{4} = & 1455; \\ m_{1} = & 0 & m_{2} = & 2 & m_{3} = & 9 & m_{4} = & 35. \end{matrix}

Általában pedig

k_{i + 1} = 14 k_{i} - k_{i - 1}

és

m_{i + 1} = 4 m_{i} - m_{i - 1} + 1.