Kezdőlap


Feladat:	Gy.2356	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1987/március, 112 - 113. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorika, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/szeptember: Gy.2356

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $k$ a sokszög köré írható kör. A csúcsokat összekötő szakaszok hosszát jellemezhetjük a $k$ kör megfelelő rövidebb íveivel. Így két csúcsot összekötő szakasz ,,hossza'' 1, 2, 3, 4, 5 vagy 6 ívhossz lehet, ahol az egység a kör kerületének 1/13-ad része.
A szabályos 13 oldalú sokszög csúcsai eszerint 6-féle távolságot határoznak meg. Innen azonnal adódik, hogy 5 pontot kiválasztva, a létrejövő $(\binom{5}{2}) = 10$ távolság között szükségképpen lesznek egyenlők, a feladat b) részére tehát tagadó a válasz.
Megmutatjuk, hogy 4 különböző csúcs még kiválasztható a feltételeknek megfelelő módon. Legyenek a sokszög csúcsai pozitív körüljárás szerint rendre $A_{1}$ , $A_{2}$ , $...$ , $A_{13}$ . Mivel 4 csúcs éppen $(\binom{4}{2}) = 6$ távolságot határoz meg, a kiválasztott pontok által meghatározott távolságok között mind a 6-féle lehetséges hosszúság fellép. Van tehát két, egymástól 6 ívhossznyi távolságra levő pont; ezekről föltehető, hogy egyikük az $A_{1}$ , másikuk pedig az $A_{7}$ . Ekkor a továbbiakban már nem választhatók ki az $A_{4}$ , illetve az $A_{8}$ és az $A_{13}$ pontok. (Az $A_{4}$ egyenlő távolságra van $A_{1}$ -től és $A_{7}$ -től, az $A_{1} A_{8}$ és az $A_{7} A_{13}$ távolságok pedig a már meglevő $A_{1} A_{7}$ -tel egyenlők, 1. ábra.)

1. ábra

Az ábra eddig szimmetrikus az

A_{1} A_{7}

felező merőlegesére, ami a sokszög

A_{4}

-en átmenő

t

szimmetriatengelye. Nézzük most meg, hogy a legrövidebb, az egységnyi távolságot hogyan helyezhetjük el. Ez nem lehet az

A_{3} A_{4}

A_{4} A_{5}

A_{7} A_{8}

A_{8} A_{9}

A_{12} A_{13}

A_{13} A_{1},

hisz ezeknek az íveknek az egyik végpontját kizártuk. Ugyancsak nem lehet az

A_{2} A_{3}

és a szimmetrikus

A_{5} A_{6}

, mert ekkor az egységnyi távolság mégegyszer föllépne (mint

A_{1} A_{2}

, illetve

A_{6} A_{7}

). Végül nem lehet az

A_{10} A_{11}

, mert ekkor a kapott

A_{1} A_{7} A_{10} A_{11}

pontnégyes továbbra is szimmetrikus volna

t

-re.
A megmaradt négy lehetőség,

A_{1} A_{2}

és

A_{6} A_{7}

, illetve

A_{9} A_{10}

és

A_{11} A_{12}

páronként szimmetrikus a

t

-re. Az első esetben a két szimmetrikus lehetőség közül az

A_{1} A_{2}

-t ‐ és így harmadikként az

A_{2}

pontot ─ választva

A_{5}

és csak az

A_{5}

megfelelő a négyszög negyedik csúcsaként. A másik esetben pedig könnyen látható, hogy az

A_{9} A_{10}

pontpárt ‐ és így az

A_{11} A_{12}

-t is ‐

A_{1} A_{7}

-hez véve megoldást kapunk (2. ábra).

2. ábra

A szabályos 13 oldalú sokszög csúcsai közül így lényegében kétféleképpen választható ki 4 darab úgy, hogy közülük bármely kettő távolsága különbözzék.