Kezdőlap


Feladat:	Gy.2355	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1987/február, 73 - 74. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Geometriai egyenlőtlenségek, Háromszögek nevezetes tételei, Beírt kör, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/szeptember: Gy.2355

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek az adott háromszög csúcsai $A$ , $B$ , $C$ , oldalai $a$ , $b$ , $c$ , beírt körének sugara $ϱ$ . Az adott kör sugara legyen $r$ , középpontja $O$ , az $O$ pontnak a háromszög oldalaitól való távolsága pedig rendre $d_{a}$ , $d_{b}$ , $d_{c}$ .

1. ábra

Ekkor a

d_{a}

d_{b}

d_{c}

távolságok mindegyike legfeljebb akkora, mint az

r

, mert az adott körnek a háromszög mindhárom oldalegyenesével van közös pontja. Az

O A B

O B C

és

O C A

‐ esetleg elfajuló ‐ háromszögek területének összege vagy megegyezik az

A B C

háromszög területével (ha

O

A B C

háromszög belső pontja), vagy nagyobb annál (ha

O

a háromszögön kívül található). Ezek alapján

\begin{matrix} r \cdot (\frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2}) ≧ \frac{d_{a} \cdot a}{2} + \frac{d_{b} \cdot b}{2} + \frac{d_{c} \cdot c}{2} = & (1) \\ = T_{O B C} + T_{O C A} + T_{O A B} ≧ T_{A B C} = ϱ \cdot (\frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2}) . \end{matrix}

Ebből pedig

r ≧ ϱ

adódik, ami éppen a bizonyítandó állítás.

Megjegyzés. Az is látható (1)-ből, hogy

r = ϱ

csak akkor teljesül, ha az adott kör megegyezik a háromszög beírt körével.

II. megoldás. Használjuk az előző megoldás jelöléseit! Tekintsük az adott körnek a háromszög

A B

oldalával párhuzamos két érintőjét. Mivel a körnek az

A B

oldallal van közös pontja, ezért e két érintő közül legalább az egyik olyan, hogy az

A B

egyenes által meghatározott két zárt félsík közül ahhoz is hozzátartozik, amelyhez a

C

pont nem. (Ha az adott kör ,,kívülről'' érinti a háromszög

A B

oldalát, akkor mindkét érintő ilyen, egyébként pedig csak az egyik.) Jelöljük az ilyen érintőt ‐ ha mindkettő ilyen, akkor a

C

-től távolabb levőt ‐

c'

-vel, és hasonlóan vegyük fel az

a'

és

b'

egyeneseket is.

2. ábra

Ekkor az

a'

b'

és

c'

egyenesek olyanok, hogy az általuk meghatározott félsíkok közül ugyanazokban található az

A B C

háromszög és az eredetileg adott kör. Az ezen egyenesek által meghatározott

A' B' C'

háromszögnek beírt köre az adott

r

sugarú kör, továbbá a belsejében tartalmazza a hozzá az oldalak párhuzamossága miatt hasonló

A B C

háromszöget. Ezért az

A B C

háromszög beírt körének sugara legfeljebb

r

, és ezt akartuk bizonyítani.