Kezdőlap


Feladat:	Gy.2354	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1987/január, 27 - 28. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trapézok, Thalesz tétel és megfordítása, Középpontos tükrözés, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/szeptember: Gy.2354

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Megmutatjuk, hogy a $B F C$ szög derékszög.

1. ábra

Legyen a

B C

szár felezőpontja

O .

Ekkor

O F

a trapéz középvonala, hosszának kétszerese tehát egyenlő az alapok hosszának összegével, ami feltételünk szerint megegyezik a

B C

szár hosszával:

\begin{matrix} 2 O F = A B + C D = B C = B O + O C . \end{matrix}

(1)

Mivel

O

felezőpont, ezért

B O = O C

, tehát (1) miatt

O F = O B = O C

, és így az

F

pont rajta van a

B C

szakasz Thalesz-körén. Ez pedig valóban azt jelenti, hogy a

B F C

szög derékszög.

II. megoldás. Tükrözzük a trapézt az

A D

szár

F

felezőpontjára. A

D C

és

A B

alapok párhuzamossága miatt a

B

csúcs

B'

tükörképe a

D C

egyenesen van és hasonlóan a

C

csúcs

C'

tükörképe az

A B

egyenesen van (2. ábra). A tükrözés miatt a

B' C B C'

négyszög paralelogramma, másrészt

C' B = C' A + A B = C D + A B

miatt a feltétel azt jelenti, hogy

C' B = B C

, azaz a négyszög rombusz. Átlói,

C C'

és

B B'

tehát merőlegesek, és így a

B F C

szög derékszög.

2. ábra