Feladat: Gy.2351 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1986/december, 453 - 454. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Elsőfokú diofantikus egyenletek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Kombinatorikai leszámolási problémák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/szeptember: Gy.2351

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenletet rendezve kapjuk, hogy (2b-3c)x=c-b. A megoldás akkor és csak akkor pozitív, ha 2b-3c és c-b egyező előjelűek, és egyikük sem 0. Ez kétféleképpen lehetséges:
1. c-b>0és2b-3c>0.
2. c-b<0és2b-3c<0.
Az első esetben c>b és b>32c, azaz c>32c. A c tehát negatív, ami nem lehet, hiszen az  1,2,3,4,5,6 értékek közül való. Az első lehetőség tehát a megadott halmazba eső b és c értékek esetén nem állhat fönn.
A második eset akkor és csak akkor teljesül, ha hasonlóan

c<b<32c,(*)
így a feladat kérdésére választ kapunk, ha megszámoljuk, hogy hány olyan (b,c) számpár van, amelyre (*) teljesül, miközben b is és c is az 1,2,3,4,5,6 értékek valamelyikével egyenlő.
Könnyen ellenőrizhető, hogy a c=1,c=2 és a c=6 esetekben nincs a (*)-nak megfelelő 1 és 6 közé eső egész, a további három esetben pedig egy-egy: ha c=3, akkor b=4; ha c=4, akkor b=5; ha pedig c=5, akkor b=6.
Összesen három esetben lesz tehát pozitív a vizsgált egyenlet megoldása; maga a megoldás az egyes esetekben rendre 1,12, illetve 13.