Kezdőlap


Feladat:	Gy.2349	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1987/január, 26 - 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Térfogat, Tetraéderek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/május: Gy.2349

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Messe a szögfelező sík a $b$ élt $P$ -ben. Megmutatjuk, hogy a két rész, a $P A B D$ és a $P A B C$ tetraéderek térfogatának aránya megegyezik egyrészt az $S$ és $T$ lapok területének arányával, másrészt a $b$ élen keletkező $D P : P C$ aránnyal. Innen a feladat állítása nyilván következik.

Mivel a

P

pont rajta van az

S

és

T

lapok szögfelező síkján, ezért egyenlő távol van ezeknek a lapoknak a síkjától. A

P A B D

és a

P A B C

tetraéderek

P

-ből induló magassága tehát egyenlő, így térfogatuk aránya valóban megegyezik az

A B D

és az

A B C

háromszögek, vagyis az

S

és

T

lapok területének arányával.

P A B D

és a

P A B C

tetraédereknek ugyanakkor közös az

A B P

lapja. Térfogatuk aránya tehát egyenlő a

D

, illetve

C

pontok e közös lapoktól mért távolságának arányával. Ez viszont nem más, mint a

D P : P C

arány, hiszen a

C D

egyenes és az

A B P

sík közös pontja éppen

P

Ezzel az állítást beláttuk.