|
Feladat: |
Gy.2348 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Beke T. , Benczúr A. , Bereczky Á. , Binder Zsuzsanna , Bíró 100 A. , Bukszár J. , Csáki Cs. , Csott R. , Cynolter G. , Dringó L. , Fajszi B. , Fleiner T. , Grallert Krisztina , Hantosi Zs. , Janszky J. , Jinda B. , Károlyi Gy. , Kecskés K. , Kégl B. , Keleti T. , Kovács 666 T. , László A. , Máté Nóra , Pál G. , Pásztor 625 G. , Rimányi R. , Siklér F. , Sustik M. , Szalay Gy. , Szederkényi Judit , Tasnádi T. , Vasy A. , Zaránd G. |
Füzet: |
1987/március,
111 - 112. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Vetítések, Indirekt bizonyítási mód, Terület, felszín, Egyéb sokszögek geometriája, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1986/május: Gy.2348 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladat állítását sokszög helyett tetszőleges konvex síkidomra bizonyítjuk be. Messe -t az egyenes az és pontokban, és vágja -t a feltétel szerint egyenlő területű és részekre. Ekkor és nyilván konvexek.
és legyenek a , illetve részidomok kerületének olyan pontjai, amelyeknek az egyenesen levő és merőleges vetületei által meghatározott szakasz alkotja a síkidom vetületét az egyenesen. Ha az és pontok egyenesre vonatkozó ‐ és merőlegessége miatt közös ‐ merőleges vetületét -vel jelöljük, akkor elegendő megmutatnunk, hogy , mert a és pontok szimmetriája miatt ebből is következik. Mivel konvex, ezért az háromszög része -nek, vagyis területe legfeljebb akkora, mint területe. A merőleges vetítés miatt a egyenes párhuzamos -vel. Legyenek a egyenes metszéspontjai a , illetve egyenesekkel , illetve . Megmutatjuk, hogy az trapéz tartalmazza a részidomot. A konvex, ezért teljes egészében az egyenesnek a -ot tartalmazó oldalán helyezkedik el. Tegyük fel, hogy van olyan -beli pont, amely nincs benne az trapézban! Ekkor konvex volta miatt a szakasz teljes egészében -ban van, tehát az egyenessel való metszéspontja is -beli. Feltevésünkből viszont következik, hogy a pont nincs rajta az szakaszon. Ez ellentmondás, mert a konvex síkidomot az egyenes egy szakaszban metszi, esetünkben és voltak ennek végpontjai. Az trapéz tehát valóban tartalmazza a részidomot, így annak területe legfeljebb akkora, mint a trapézé. Mivel és egyenlő területűek, a háromszög területe legfeljebb akkora, mint az trapéz területe. Másképpen szólva a háromszög területe legfeljebb fele a hozzá középpontosan hasonló háromszög területének. Ez azt jelenti, hogy a háromszög oldalához tartozó magassága ‐ ami egyenlő a szakasszal ‐ legfeljebb -ed része a háromszög oldalához tartozó magasságának, ami egyenlő a szakasszal. Tehát:
Ezzel az állítást beláttuk.
Megjegyzés. Látható a bizonyításból, hogy ha a síkidom megegyezik a háromszöggel, akkor a vetületszakaszok aránya éppen , tehát a feladat állítása tovább nem javítható.
|
|