|
Feladat: |
Gy.2347 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Beke T. , Binder Zsuzsanna , Bíró 100 A. , Bősze P. , Botrágyi T. , Csáki Cs. , Csanádi P. , Csordás Z. M. , Fajszi B. , Fleiner T. , Hadnagy Éva , Illés T. , Jinda B. , Káli L. , Kégl B. , Keleti T. , Kovács Á. , László A. , Lois L. , Máté Nóra , Pásztor 625 G. , Patthy Júlia , Peller Z. , Siklér F. , Sustik M. , Szabó 639 A. , Wolkensdorfer P. |
Füzet: |
1987/március,
109 - 110. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Derékszögű háromszögek geometriája, Indirekt bizonyítási mód, Sokszög lefedések, Négyzetek, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1986/május: Gy.2347 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megmutatjuk, hogy három, egyenként sugarú körrel lefedhető az egységnégyzet, kisebb körökkel viszont nem.
Legyen az egységnégyzet oldalának felezőpontja, és pedig azok a pontok a -vel szomszédos , illetve oldalon, amelyekre (lásd ábra). Egyszerű számolással kapjuk, hogy ekkor . Ha most három darab sugarú kört úgy helyezünk el, hogy középpontjaik rendre az , és szakaszok felezőpontjai legyenek, akkor az első kör átmegy az a második a ; a harmadik pedig a pontokon, és a három kör nyilván lefedi a teljes egységnégyzetet. Tegyük fel, hogy három sugarú körrel is megvalósítható a lefedés. Mivel a három kör a négyzetnek mind a négy csúcsát lefedi, ezért a körök között van olyan ‐ nevezzük ezt első körnek ‐, amelyik legalább két csúcsot fed le. Ez a két csúcs nem lehet átellenes, mert az ilyenek távolsága nagyobb, mint körünk átmérője, egy kör viszont csak olyan pontokat fedhet le, amelyek távolsága nem nagyobb az átmérőjénél. Válasszuk a négyzet csúcsainak betűzését úgy, hogy az első kör az és a csúcsokat fedje le! Ez a kör így már nem fedheti le sem a , sem pedig az pontot, mert . A és az pontokat viszont szintén ugyanannak a ‐ nevezzük másodiknak ‐ körnek kell lefednie, mert ha a pontot a második, az pontot pedig a harmadik kör fedné le, akkor és miatt az pontot már egyik kör sem fedhetné le. A második kör miatt nem fedheti le a és pontokat, tehát ezeket is a harmadik körnek kell lefednie. Összefoglalva: az első kör lefedi az és , a második az és , a harmadik pedig a és pontokat. Tekintsük most az oldal felezőpontját! Pitagorasz tételét alkalmazva kapjuk, hogy
és
A pontot így a három kör egyike sem fedheti le. Ez ellentmondás, tehát az egységnégyzet valóban nem fedhető le három -nál kisebb sugarú körrel.
|
|