A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelölje az halmaz elemeit rendre és legyen elemeinek az összege . A feltétel szerint minden -re , azaz
Ha nemnegatív, akkor , és így (1)-ből , ahonnan
Hasonlóan ha , akkor
Elegendő ezután megmutatnunk, hogy -ben van nemnegatív és nempozitív elem is. Ekkor ugyanis (2) és (3) szerint , azaz valóban. Ha -nek minden eleme pozitív volna, akkor egyrészt , másrészt az darab (2) egyenlőtlenséget összeadva , azaz
A feltétel szerint , így a bal oldal első tényezője pozitív. Következésképp , ellentétben az előbb kapott -val. Hasonlóan vezet ellentmondásra az a föltevés is, hogy -nek minden eleme negatív, amivel a feladat állítását bebizonyítottuk. Megjegyzés. Ha , akkor a feltételből már nem következik az állítás, mint ahogy azt az lehetőség mutatja. |