Kezdőlap


Feladat:	Gy.2344	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Binder Zsuzsanna
Füzet:	1986/október, 313. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Részhalmazok, Számhalmazok, Indirekt bizonyítási mód, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/május: Gy.2344

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje az $M$ halmaz elemeit rendre $a_{1}, a_{2}, ..., a_{m}$ és legyen $M$ elemeinek az összege $S$ . A feltétel szerint minden $a_{i}$ -re $| a_{i} | \geq | S - a_{i} |$ , azaz

\begin{matrix} - | a_{i} | \leq S - a_{i} \leq | a_{i} | . & (1) \end{matrix}

a_{i}

nemnegatív, akkor

| a_{i} | = a_{i}

, és így (1)-ből

- a_{i} \leq S - a_{i} \leq a_{i}

, ahonnan

\begin{matrix} 0 \leq S \leq 2 a_{i} (a_{i} \geq 0) . & (2) \end{matrix}

Hasonlóan ha

a_{i} \leq 0

, akkor

\begin{matrix} 2 a_{i} \leq S \leq 0 (a_{i} \leq 0) . & (3) \end{matrix}

Elegendő ezután megmutatnunk, hogy

M

-ben van nemnegatív és nempozitív elem is. Ekkor ugyanis (2) és (3) szerint

0 \leq S \leq 0

, azaz

S = 0

valóban.
Ha

M

-nek minden eleme pozitív volna, akkor egyrészt

S > 0

, másrészt az

m

darab (2) egyenlőtlenséget összeadva

m S \leq 2 S

, azaz

\begin{matrix} (m - 2) S \leq 0. \end{matrix}

A feltétel szerint

m > 2

, így a bal oldal első tényezője pozitív. Következésképp

S \leq 0

, ellentétben az előbb kapott

S > 0

-val. Hasonlóan vezet ellentmondásra az a föltevés is, hogy

M

-nek minden eleme negatív, amivel a feladat állítását bebizonyítottuk.

Megjegyzés. Ha

m = 2

, akkor a feltételből már nem következik az állítás, mint ahogy azt az

a_{1} = a_{2} \neq 0

lehetőség mutatja.