Feladat: Gy.2341 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Beke T. ,  Jinda B. ,  Keleti T. ,  Kemecsei Zs. ,  Rimaszéki F. ,  Ságodi Zs. ,  Szabó 393 T. ,  Weisz Z. ,  Wiandt T. 
Füzet: 1986/december, 448 - 449. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Beírt tetraéder, Kocka, Paralelepipedon, Konstruktív megoldási módszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/április: Gy.2341

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat kérdésére igenlő a válasz, megadhatók ilyen tetraéderek. Betűzzük meg ehhez egy kocka csúcsait a következőképpen: legyenek az alaplap csúcsai A,B,E és F, a fedőlapé pedig azonos körüljárás szerint H,C,D és G úgy, hogy az A felett a H legyen (1. ábra).

 
 
1. ábra
 

Ekkor az ABCD és az EFGH tetraéderek egymásba írtak, mert a következő pontnégyesek a kocka két-két párhuzamos élének végpontjaiként nyilván egysíkúak:

E,B,D,C;F,A,C,D;G,A,B,D;H,A,B,C;ésA,F,H,G;B,E,G,H;C,E,F,H;D,E,F,G.

Mivel a két tetraédernek nincs közös csúcsa, ezért minden tekintetben megfelelnek a feltételeknek. Ezzel az állítást beláttuk.
 
Megjegyzések. 1. Kocka helyett tetszőleges paralelepipedon csúcsaiból is kiválasztható a kép tetraéder, sőt ha tekintünk két tetraédert, amelyek két-két kitérő éle egy egyenesen van, akkor a két tetraéder egymásba van írva. Ebből következik, hogy végtelen sok, a feltételeknek megfelelő tetraéder-pár létezik (2. ábra).
 
 
2. ábra
 

2. Az egymásba írt tetraéderpárt szokás Möbius-féle tetraéderpárnak nevezni.