Kezdőlap


Feladat:	Gy.2339	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1986/december, 447 - 448. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlyvonal, Súlypont, Beírt kör középpontja, Terület, felszín, Párhuzamos szelők tételének megfordítása, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/április: Gy.2339

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Betűzzük a háromszög csúcsait $A, B, C$ vel a szokásos módon.
Ismeretes, hogy az $A B C$ háromszög területe $ϱ \cdot s$ , ahol $ϱ$ a beírt kör sugara, $s$ pedig a háromszög kerületének fele, és jelen esetben $a + b = 2 c$ miatt $\frac{3}{2} c$ -vel egyenlő.
Ezt behelyettesítve, majd az eredményt a $T = (1 / 2) m \cdot c$ összefüggéssel egybevetve ( $m$ a $C$ csúcsból induló magasságot jelöli)

\begin{matrix} \frac{1}{2} m \cdot c = \frac{3}{2} ϱ \cdot c, \end{matrix}

ahonnan kapjuk, hogy

\begin{matrix} ϱ = m / 3. \end{matrix}

A beírt kör

O

középpontja tehát

m / 3

távolságra van a háromszög

A B

oldalától.
Másfelől a párhuzamos szelők tételének megfordításából következik, hogy a

C

pontot az

A B

egyenes pontjaival összekötő szakaszok

C

-től távolabbi harmadolópontjai egy, az

A B

-vel párhuzamos

e

egyenes pontjait alkotják. Ez az egyenes az

A B

-től

(1 / 3) m

távolságra haladva az előbbiek szerint tartalmazza

O

-t, másrészt a

C

-ből induló súlyvonal megfelelő harmadolópontjaként a háromszög

S

súlypontját is. A háromszög nem szabályos, így az

O

és az

S

pontok különbözők. Létezik tehát a rajtuk átmenő egyenes, és az nem más, mint az előbbi

e

.
A súlypontot és a beírt kör középpontját összekötő egyenes tehát valóban párhuzamos a háromszög

A B = c

oldalával.