Kezdőlap


Feladat:	Gy.2331	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1986/december, 444 - 445. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Háromszögek nevezetes tételei, Húrnégyszögek, Síkbeli szimmetrikus alakzatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/március: Gy.2331

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel egy szög külső és belső szögfelezője merőleges egymásra, ezért elegendő belátnunk, hogy az $A M D$ és az $A N B$ szögek belső szögfelezői merőlegesek egymásra.

Ábránkon úgy választottuk a betűzést, hogy

B M < A M

, ennélfogva

C M < D M,

másrészt hogy

D N < A N

és emiatt

C N < B N

. Legyen a két belső szögfelező metszéspontja

P

(ez mindig létrejön!), az

N P

egyenes és az

A B

oldal metszéspontja

R

, az

N P

egyenes és a

C D

oldal metszéspontja pedig

Q .

D Q N

és

B R N

háromszögek két szögükben megegyeznek, mert az

N D Q

szög az

A B C D

húrnégyszög

D

-nél levő külső szögeként egyenlő a húrnégyszög

B

-nél levő belső szögével, az

R B N

szöggel, míg az

R N

egyenes szögfelező, tehát

D N Q ∢ = B N R ∢ .

Ezért a két háromszög harmadik szögei is egyenlőek:

D Q N ∢ = B R N ∢

. Mivel az

M Q R

szög a

D Q N

szög csúcsszöge, ezért az

M Q R

háromszög egyenlő szárú.
Egyenlő szárú háromszög szárszögének felezője viszont merőleges az alapra, amiből feladatunk állítása közvetlenül adódik.