Kezdőlap


Feladat:	Gy.2328	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1986/december, 443 - 444. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Játékelmélet, játékok, Kombinatorikai leszámolási problémák, Kombinációk, Szöveges feladatok, Klasszikus valószínűség, Feltételes valószínűség, események, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/március: Gy.2328

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A játék lefolyása során csak a két fekete ásznak (a keverés miatt egyformán valószínű) elhelyezkedését kell figyelembe vennünk. A feladat kérdésére választ kapunk, ha a lehetséges $(\binom{52}{2})$ kimenetelt tekintve összeszámoljuk, hány esetben nyer az első és hányszor a második játékos.
Azokban az esetekben, amikor mindketten ugyanannyi lapot húznak ki ‐ ez $26$ -féleképpen lehetséges ‐ a játék döntetlenül ér véget.
A fennmaradó $(\binom{52}{2}) - 26 = 1300$ kimenetel az alábbi megfeleltetéssel két egyenlő elemszámú csoportra osztható. Nevezzük $(i, j)$ -húzásnak azt, ahol az első fekete ász $i$ -edikként, a második $j$ -edikként fordult elő $(1 \leq i \leq j \leq 52$ , $2 i \neq j,$ hiszen a játék eredménye nem döntetlen). Az $(1,3)$ -húzás párja legyen a $(2,3)$ -húzás; az $(1,4)$ -é $(3,4)$ ; $(1,5)$ -é $(4,5)$ , valamint $(2,5)$ -é $(3,5)$ . Általában az $(i, j)$ párja legyen a $(j - i, j)$ -húzás. Ez a megfeleltetés nyilván kölcsönösen egyértelmű (azaz nem döntetlen kimenetelhez egy tőle különböző, ugyancsak nem döntetlen kimenetelt rendel), továbbá az összetartozó párok egyikében az első, a másikában a második játékos a nyertes.
Következésképp mindkét játékos ugyanannyi, $1300 : 2 = 650$ esetben győz, a játék tehát igazságos.

Megjegyzések. 1. A döntetlen lehetőségét is figyelembe véve mindkét fél

650 / (\binom{52}{2}) \approx 0,49

valószínűséggel nyeri a játékot.
2. A 2288. gyakorlat megoldásában (lásd 1986. március, 117. o.) láttuk, hogy a feladat körülményei között az első fekete ász kihúzása az első, a másodiké pedig a legutolsó, az

52

-dik helyen a legvalószínűbb. Erre hivatkozva sokan állították, hogy a játék a második játékos számára kedvezőbb, várhatóan ő húzhat majd több lapot.
Ez a következtetés hibás. Az idézett állítás csak úgy igaz, ha a másik fekete ász felbukkanásáról semmit sem tudunk. Mihelyt azonban kihúzták az első fekete ászt, a másik egyenlő valószínűséggel lehet bárhol a megmaradt lapok között, így a második játékos a megmaradt lapoknak átlagosan a felét fogja kihúzni. Ez pedig csak akkor kedvező a számára, ha az első a lapoknak kevesebb, mint egyharmadát szerezte meg. Ennek valószínűsége valamivel kevesebb

1 / 2

-nél, de legalább

27

lapot kihúzva az első biztosan nyer ‐ ezért a játék igazságos volta egyáltalán nem meglepő.
Ami pedig azt a látszólagos ellentmondást illeti, hogy a két fekete ászt együtt figyelve ezek bármely felbukkanása egyenlően valószínű, tehát ugyanolyan,

1 / (\binom{52}{2})

valószínűséggel bukkannak elő az első és az utolsó, mint például a

26

-ik és a

47

-edik helyen, gondoljunk arra, hogy két esemény együttes bekövetkezésének a valószínűsége általában nem a két esemény valószínűségének a szorzata ‐ hacsak a két esemény nem független, azaz egyikük bekövetkezése nem teszi sem valószínűbbé, sem pedig kevésbé valószínűvé a másik bekövetkezését. A szóban forgó két esemény, tehát az első fekete ász felbukkanása az

i

-edik, a másodiké pedig a

j

-edik helyen pedig nyilván nem az.