A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A játék lefolyása során csak a két fekete ásznak (a keverés miatt egyformán valószínű) elhelyezkedését kell figyelembe vennünk. A feladat kérdésére választ kapunk, ha a lehetséges kimenetelt tekintve összeszámoljuk, hány esetben nyer az első és hányszor a második játékos. Azokban az esetekben, amikor mindketten ugyanannyi lapot húznak ki ‐ ez -féleképpen lehetséges ‐ a játék döntetlenül ér véget. A fennmaradó kimenetel az alábbi megfeleltetéssel két egyenlő elemszámú csoportra osztható. Nevezzük -húzásnak azt, ahol az első fekete ász -edikként, a második -edikként fordult elő , hiszen a játék eredménye nem döntetlen). Az -húzás párja legyen a -húzás; az -é ; -é , valamint -é . Általában az párja legyen a -húzás. Ez a megfeleltetés nyilván kölcsönösen egyértelmű (azaz nem döntetlen kimenetelhez egy tőle különböző, ugyancsak nem döntetlen kimenetelt rendel), továbbá az összetartozó párok egyikében az első, a másikában a második játékos a nyertes. Következésképp mindkét játékos ugyanannyi, esetben győz, a játék tehát igazságos.
Megjegyzések. 1. A döntetlen lehetőségét is figyelembe véve mindkét fél valószínűséggel nyeri a játékot. 2. A 2288. gyakorlat megoldásában (lásd 1986. március, 117. o.) láttuk, hogy a feladat körülményei között az első fekete ász kihúzása az első, a másodiké pedig a legutolsó, az -dik helyen a legvalószínűbb. Erre hivatkozva sokan állították, hogy a játék a második játékos számára kedvezőbb, várhatóan ő húzhat majd több lapot. Ez a következtetés hibás. Az idézett állítás csak úgy igaz, ha a másik fekete ász felbukkanásáról semmit sem tudunk. Mihelyt azonban kihúzták az első fekete ászt, a másik egyenlő valószínűséggel lehet bárhol a megmaradt lapok között, így a második játékos a megmaradt lapoknak átlagosan a felét fogja kihúzni. Ez pedig csak akkor kedvező a számára, ha az első a lapoknak kevesebb, mint egyharmadát szerezte meg. Ennek valószínűsége valamivel kevesebb -nél, de legalább lapot kihúzva az első biztosan nyer ‐ ezért a játék igazságos volta egyáltalán nem meglepő. Ami pedig azt a látszólagos ellentmondást illeti, hogy a két fekete ászt együtt figyelve ezek bármely felbukkanása egyenlően valószínű, tehát ugyanolyan, valószínűséggel bukkannak elő az első és az utolsó, mint például a -ik és a -edik helyen, gondoljunk arra, hogy két esemény együttes bekövetkezésének a valószínűsége általában nem a két esemény valószínűségének a szorzata ‐ hacsak a két esemény nem független, azaz egyikük bekövetkezése nem teszi sem valószínűbbé, sem pedig kevésbé valószínűvé a másik bekövetkezését. A szóban forgó két esemény, tehát az első fekete ász felbukkanása az -edik, a másodiké pedig a -edik helyen pedig nyilván nem az. |