Feladat: Gy.2327 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Beke T. ,  Biró A. ,  Bodnár 814 B. ,  Bodnár Z. ,  Bukszár J. ,  Buttyán L. ,  Csűrös M. ,  Fleiner T. ,  Jinda B. ,  Károlyi Gy. ,  Keleti T. ,  Kiss 520 Cs. ,  Kun A. ,  Mándli T. ,  Mezei J. ,  Pásztor 655 G. ,  Péter I. ,  Sustik M. ,  Szabó 393 T. ,  Szabó T. ,  Szamuely T. ,  Tavaszi G. ,  Veres L. 
Füzet: 1986/október, 309 - 311. oldal  PDF file
Témakör(ök): Oldalfelező merőleges, Körülírt kör, Kombinatorikus geometria síkban, Kombinációk, Mértani helyek, Teljes indukció módszere, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/március: Gy.2327

Adott 10 pont a síkon. Megrajzoljuk az általuk meghatározott szakaszok felező merőlegeseit. Legfeljebb hány pontban metszik egymást ezek az egyenesek?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A létrejövő metszéspontokban olyan szakaszok felező merőlegesei metszik egymást, amelyek végpontjai vagy háromszöget, vagy pedig négyszöget alkotnak. Mivel egy háromszögben az oldalfelező merőlegesek egy ponton haladnak át, ezért háromszögenként egy metszéspontot kapunk. Négyszögenként pedig legfeljebb 3 metszéspont jöhet létre, hiszen egy négyszög csúcsait összekötő 6 szakaszból ennyiféleképpen választhatunk közös csúcs nélküli párokat. A keletkező metszéspontok száma így n pont esetén legfeljebb (n3)+3(n4), ami n=10-re 750.
Megmutatjuk, hogy ez a fölső korlát minden n-re elérhető. Ehhez az kell, hogy létrejöjjön a lehetséges (n3) darab háromszög, illetve az (n4) darab négyszög, továbbá a fenti számbavétel során egyetlen metszéspontot se számoljunk egynél többször. Úgy érzi az ember, hogy kellően ,,általános helyzetű'' pontokat felvéve a háromszögek körülírt körének középpontjain kívül nem esnek egybe más metszéspontok; ezt azonban bizonyítani kell, amit a pontok számára vonatkozó teljes indukcióval meg is teszünk.
Három pontot egy háromszög csúcsaiban fölvéve nyilván megfelelő ponthármashoz jutunk. Legyen most n>3 és tegyük föl, hogy a P1, P2, ..., Pn-1 pontokat már sikerült megadnunk az előírt módon. Jelöljük a PiPj szakasz felező merőlegesét fij-vel. Az ,,új'' Pn pontot úgy kell megválasztanunk, hogy
a) az új fni egyenesek minden új fnj és minden régi fij egyenest messenek;
b) az új felező merőlegesek ne haladjanak át régi metszéspontokon (1. ábra);

 
 
1. ábra
 

c) új felező merőlegesek metszéspontja ne illeszkedjék régi felező merőlegesre (2. ábra), eltekintve az új PnPiPj háromszögek körülírt körének középpontjaitól (az ábrán tehát f nem azonos fij-vel);
 
 
2. ábra
 

d) semelyik három új felező merőleges ne haladjon át egy ponton (3. ábra).
 
 
3. ábra
 

Adott szakaszok felező merőlegesei akkor metszik egymást, ha a szakaszok között nincsenek párhuzamosak. A Pn pont ezért nem lehet azokon az egyeneseken, amelyek két korábbi pontot kötnek össze (hogy az új felező merőlegesek messék egymást); illetve amelyek két régi pontot összekötő egyenessel párhuzamosan haladnak egy régi ponton át (hogy az új felező merőlegesek messék a régieket). Ha Pn-et ezen a véges sok egyenesen kívül vesszük fel, akkor valamennyi szükséges metszéspont létrejön.
Ha Q egy régi metszéspont (1. ábra), akkor fni pontosan akkor halad át Q-n, ha Pn rajta van a Q középpontú QPi sugarú körön. Ilyen kör megint csak véges sok van, a Pn pont ezért megválasztható úgy, hogy a korábban kizárt egyeneseken kívül ezekre a körökre se illeszkedjék
Végül azt állítjuk, hogy a Pn ilyen választása mellett már sem a 2., sem pedig a 3. ábrán látható eset nem fordulhat elő. A 2. ábrán ugyanis az új fni és fnj egyenesek Q metszéspontján a régi fij is áthalad, Q tehát két régi felező merőleges, az fij és az f metszéspontja. Ilyen ponton viszont a Pn választása miatt nem halad át új felezőmerőleges. A 3. ábra Q pontja pedig a régi PiPjPk háromszög körülírt körének középpontjaként ugyancsak régi egyenesek metszéspontja, és így nem illeszkedhet új felező merőlegesre.
Beláttuk tehát, hogy Pn fenti megválasztása megfelelő és ezzel a bizonyítást befejeztük.
A síkon tehát megadható 10 pont úgy, hogy létrejöjjön mind a 750 metszéspont.
 

Megjegyzés. A dolgozatok többsége csak a kezdeti leszámolást tartalmazta, általában hiányzott annak a bizonyítása, hogy valóban elérhető a megadott korlát. Az utóbbi állítást illetően sokan megelégedtek annak kikötésével, hogy a megadott pontok közül semelyik 3 ne legyen egy egyenesen és semelyik 4 ne legyen egy körön. Ez kevés, így még megadható 3 szakasz úgy, hogy a felező merőlegeseik egy ponton haladjanak át.