A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az egyenlet értelmezési tartománya alapján . Megmutatjuk, hogy ebben az esetben az első egyenletből következik. Ha , akkor . Az első egyenlet szerint így | | és ez nyilván nem lehetséges. Hasonlóan ellentmondásra vezet a föltevés is. Ezután a második egyenlet az alakot ölti, ahonnan, újra fölhasználva az összefüggést, kapjuk, hogy , azaz vagy . Az egyenletrendszer megoldásai tehát az számpárok közül valók, és látható, hogy mindkét számpár valóban megoldás. Megjegyzések. 1. Jobban látszik az első egyenlet szerkezete, ha észrevesszük, hogy annak 0-ra redukált bal oldala beszorzás után szorzattá alakítható. Valóban, | | amiről pedig némi ügyeskedéssel kiderül, hogy nem más, mint Ha most , akkor a második tényező pozitív, így ha a szorzat 0, akkor . 2. Ismeretes, hogy egész együtthatós egyváltozós polinom egész gyökei, és így a megfelelő elsőfokú gyöktényezők, véges sok próbálkozással megkaphatók: az egész gyökök a polinom konstans tagjának az osztói. Hasonló, a szorzatalak fölismerését megkönnyítő állítás kétváltozós egész együtthatós polinomokra is igaz. Amennyiben a polinom szorzattá alakítható úgy, hogy az egyik tényező az egyik változóban ‐ pl. az -ben ‐ elsőfokú, akkor ennek a tényezőnek az változót nem tartalmazó tagja (mint az változó polinomja) osztója a polinom -ben nulladfokú "tagjának''. Mostani példánk jól szemlélteti a fenti állítást. Rendezzük az előbbi kétváltozós polinomot hatványai szerint: | | Az "együtthatók'' most az változó polinomjai, az -ben 0-adfokú tag, . A polinom szimmetrikus az , változókban, úgy hogy az elképzelhető , , " gyöktényezők'' közül a -hez tartozó szimmetrikus , , valamint "osztókkal'' érdemes próbálkoznunk. A maradékos osztásokat a jól ismert Horner-eljárás szerint végezve az alábbi táblázatban foglalhatjuk össze az eredményeket:
Az utolsó esetben az [x-(-y+1)] "gyöktényezővel'' osztva valóban 0 maradékot kapunk, és a hányados " együtthatói'' is leolvashatók. Így | p(x,y)=(x+y-1)(x2+x+y2+y). |
|