Kezdőlap


Feladat:	Gy.2326	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1986/november, 394 - 395. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Irracionális egyenletrendszerek, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/március: Gy.2326

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlet értelmezési tartománya alapján $x + y > 0$ . Megmutatjuk, hogy ebben az esetben az első egyenletből $x + y = 1$ következik.

x + y > 1

, akkor

x^{2} + y^{2} > \frac{x^{2} + y^{2}}{x + y}

. Az első egyenlet szerint így

\begin{matrix} 1 = x^{2} + y^{2} + \frac{2 x y}{x + y} > \frac{x^{2} + y^{2} + 2 x y}{x + y} = \frac{{(x + y)}^{2}}{x + y} = x + y > 1, \end{matrix}

és ez nyilván nem lehetséges. Hasonlóan ellentmondásra vezet a

0 < x + y < 1

föltevés is.
Ezután a második egyenlet az

x^{2} - y = 1

alakot ölti, ahonnan, újra fölhasználva az

x + y = 1

összefüggést, kapjuk, hogy

x^{2} + x = 2

, azaz

x = 1

vagy

x = - 2

.
Az egyenletrendszer megoldásai tehát az

\begin{matrix} x_{1} = 1; y_{1} = 0 és az x_{2} = - 2; y_{2} = 3 \end{matrix}

számpárok közül valók, és látható, hogy mindkét számpár valóban megoldás.

\begin{matrix} * * * \end{matrix}

Megjegyzések. 1. Jobban látszik az első egyenlet szerkezete, ha észrevesszük, hogy annak 0-ra redukált bal oldala beszorzás után szorzattá alakítható. Valóban,

\begin{matrix} (x^{2} + y^{2} + \frac{2 x y}{x + y} - 1) (x + y) = x^{3} + y^{3} + x^{2} y + x y^{2} + 2 x y - x - y, \end{matrix}

amiről pedig némi ügyeskedéssel kiderül, hogy nem más, mint

\begin{matrix} (x + y - 1) (x^{2} + y^{2} + x + y) . \end{matrix}

Ha most

x + y > 0

, akkor a második tényező pozitív, így ha a szorzat 0, akkor

x + y = 1

.
2. Ismeretes, hogy egész együtthatós egyváltozós polinom egész gyökei, és így a megfelelő elsőfokú gyöktényezők, véges sok próbálkozással megkaphatók: az egész gyökök a polinom konstans tagjának az osztói.
Hasonló, a szorzatalak fölismerését megkönnyítő állítás kétváltozós egész együtthatós polinomokra is igaz. Amennyiben a

p (x, y)

polinom szorzattá alakítható úgy, hogy az egyik tényező az egyik változóban ‐ pl. az

x

-ben ‐ elsőfokú, akkor ennek a tényezőnek az

x

változót nem tartalmazó tagja (mint az

y

változó polinomja) osztója a

p (x, y)

polinom

x

-ben nulladfokú "tagjának''. Mostani példánk jól szemlélteti a fenti állítást.
Rendezzük az előbbi kétváltozós polinomot

x

hatványai szerint:

\begin{matrix} p (x, y) = x^{3} + y x^{2} + (y^{2} + 2 y - 1) x + y^{3} - y . \end{matrix}

Az "együtthatók'' most az

y

változó polinomjai, az

x

-ben 0-adfokú tag,

y^{3} - y = y (y - 1) (y + 1)

. A

p (x, y)

polinom szimmetrikus az

x

y

változókban, úgy hogy az elképzelhető

x - λ y

x - λ (y - 1)

x - λ (y + 1)

" gyöktényezők'' közül a

λ = - 1

-hez tartozó szimmetrikus

x + y

x + y + 1

, valamint

x + y - 1

"osztókkal'' érdemes próbálkoznunk.
A maradékos osztásokat a jól ismert Horner-eljárás szerint végezve az alábbi táblázatban foglalhatjuk össze az eredményeket:

\begin{matrix} "Gyökök''\ "Együtthatók'' & 1 & y & y^{2} + 2 y - 1 & y^{3} - y \\ - y & 1 & 0 & y^{2} + 2 y - 1 & \bar{\underset{̲}{| - 2 y^{2} |}} \\ - y - 1 & 1 & - 1 & y^{3} + 3 y & \bar{\underset{̲}{| - 4 y^{2} - 4 y |}} \\ - y + 1 & 1 & 1 & y^{2} + y & \bar{\underset{̲}{| 0 |}} \end{matrix}

Az utolsó esetben az

[x - (- y + 1)]

"gyöktényezővel'' osztva valóban 0 maradékot kapunk, és a hányados " együtthatói'' is leolvashatók. Így

\begin{matrix} p (x, y) = (x + y - 1) (x^{2} + x + y^{2} + y) . \end{matrix}