A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Használjuk az 1. ábra jelöléseit! , az sík és az , élek metszéspontja; , a , pontok merőleges vetülete a gúla alaplapján; , , pedig rendre az , , szakaszok felezőpontjai.
1. ábra A és pontokon átmenő, az alaplapra merőleges és az éllel párhuzamos síkokkal messük el a gúlát. A lemetszett rész egy háromszög alapú hasábból és két egymással egybevágó, de tükrös helyzetű téglalap alapú gúlából áll. A hasáb és a gúla térfogatát fogjuk kiszámolni, majd ezeknek a mennyiségeknek a segítségével meghatározzuk a keresett szöget.
2. ábra Tekintsük a gúlának az síkmetszetét (2. ábra). A gúla élhosszát egységnyinek választva , , ahol az pont merőleges vetülete a gúla alaplapján. Az pont merőleges vetülete a gúla alaplapján rajta van az szakaszon, jelöljük ezt a pontot -vel. Legyen , . Ekkor a és pontoknak az , illetve éltől való távolsága is a gúla szabályossága miatt, tehát az alsó gúladarab szeletelésekor keletkezett háromszög alapú hasáb alapterülete , magassága , és így a térfogata: a két szélen levágott darabokból összeállított gúla térfogatára pedig
Az eredeti gúla térfogata:
A feltétel szerint az sík felezi a gúla térfogatát, tehát:
| | (1) |
A 2. ábrán látható és háromszögek hasonlóak, és így
Ezt felhasználva (1)-ből az másodfokú egyenletet kapjuk -re. Ennek gyökei , , de mivel az értéke nem lehet -nél nagyobb, ezért csak megoldás. Az szög megegyezik a keresett szöggel, ismeretében pedig könnyen kiszámíthatjuk ennek a szögnek a tangensét:
| |
Innen a keresett szög: α=18∘27'42''. Ezzel a feladatot megoldottuk.
|