Feladat: Gy.2319 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1986/október, 307 - 308. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/február: Gy.2319

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A jobb oldal értelmezési tartományának illetve értékkészletének figyelembevételével egyrészt px≥0, másrészt x+1≥0. Ennek alapján ha p>0, akkor az x≥0, ha pedig p<0, akkor a -1≤x≤0 értékek körében kereshetjük megoldásait. (A p=0 esetben x=-1 az egyetlen megoldás, így p=0 megfelelő.)
Az (1) egyenletet négyzetre emelve rendezés után az alábbi másodfokú egyenletet kapjuk:

x2+(2-p)x+1=0.(2)


A p paraméternek azokat az értékeit keressük tehát, amelyekre a (2) egyenlet gyökei közül pontosan egy lesz (1)-nek is gyöke. A (2) egyenletnek pontosan akkor van megoldása, ha diszkriminánsa, D=p(p-4) nem negatív.
Ha D=0, akkor (2)-nek csak egy gyöke van, a már vizsgált p=0 esetben a -1, ha pedig p=4, akkor az 1. Mivel 1 az x+1=4x egyenletnek is gyöke, p=4 is hozzátartozik a keresett számhalmazhoz.
Ha D>0, azaz p>4 vagy p<0, akkor (2)-nek két különböző gyöke van. A gyökök és együtthatók közti összefüggés szerint ezek szorzata 1, így (2) megoldásai egyező előjelűek. A p>4 esetben ez azt jelenti, hogy a (2) egyenlet gyökei vagy mindketten gyökei (1)-nek is, vagy pedig egyikük sem az, ezek a p értékek tehát nem jöhetnek szóba.
Ha p<0, akkor (2) két gyökének összege, p-2 negatív, így mindkét gyök negatív. Mivel pedig különbözők és szorzatuk 1, egyikük kisebb, mint -1 és így nem gyöke (1)-nek, másikuk viszont -1 és 0 közé esik, és így (1)-nek is megoldása. A p<0 esetben tehát (2) két különböző gyöke közül pontosan egy ─ a kisebb abszolút értékű ‐ (1)-nek is gyöke.
Az (1) egyenletnek tehát a p=4 és a p≤0 esetekben van pontosan egy gyöke.
 
Megjegyzések. 1. Ha elkészítjük az (1) két oldalán álló függvények grafikonját, akkor könnyen leolvashatók a megfelelő p értékek.
2. A dolgozatoknak több mint háromnegyed részében csupán a D=0 lehetőséget tisztázták. Tanulságos, hogy milyen sokan elégedtek meg egy sablon fölismerésével ahelyett, hogy megpróbálták volna megérteni, mi is valójában a feladat.