Kezdőlap


Feladat:	Gy.2318	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1986/október, 308. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Számhalmazok, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/február: Gy.2318

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $n = 8 795 685$ jelöléssel

\begin{matrix} A = \frac{(n + 4) (n + 3) (n + 2) (n + 1) - (n - 1) (n - 2) (n - 3) (n - 4)}{{(n + 3)}^{2} + {(n + 1)}^{2} + {(n - 1)}^{2} + {(n - 3)}^{2}} . \end{matrix}

Látható, hogy a műveletek elvégzése során a számlálóban a páros, a nevezőben pedig a páratlan kitevőjű

n

-hatványok kiesnek. Így

\begin{matrix} A = \frac{2 (4 + 3 + 2 + 1) \cdot n^{3} + 2 (4 \cdot 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 1) n}{2 (n^{2} + n^{2} + 3^{2} + 1^{2})}, \end{matrix}

ahonnan az összevonások és egyszerűsítések után

\begin{matrix} A = \frac{5 n^{3} + 25 n}{n^{2} + 5} = \frac{5 n (n^{2} + 5)}{n^{2} + 5} adódik . \end{matrix}

Mivel

n^{2} + 5 > 0

, ezért

A = 5 n = 43 978 425

, valóban egész.