Kezdőlap


Feladat:	Gy.2315	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1986/november, 384 - 385. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Háromszögek szerkesztése, Parabola, mint mértani hely, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/január: Gy.2315

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a feladatot megoldottnak! Az $A B C$ háromszög oldalait a szokásos módon jelöljük $a$ , $b$ , $c$ -vel, az $A$ csúcsból induló belső szögfelező és a $B C$ oldal metszéspontja legyen $M$ ! Ezekkel a jelölésekkel feladatunk a következő: Szerkesztendő az $A B C$ háromszög, ha ismerjük az $a$ oldalt, a $\frac{b}{c}$ arányt, valamint az $A M$ szakasz hosszát.

Ha az adott

\frac{b}{c}

arány 1, akkor a háromszög egyenlő szárú, tehát az

A M

szakasz rajta van az

a

oldal felező merőlegesén. Ezt felhasználva a szerkesztés: Felvesszük az

a

oldalt, megszerkesztjük a felező merőlegesét, erre az oldal felezőpontjából felmérjük az

A M

távolságot, így megkapjuk a háromszög harmadik csúcsát. Ez a szerkesztés nyilván megfelelő háromszöget ad, és bármilyen adatok mellett egyértelműen elvégezhető.

Ha az adott

\frac{b}{c}

arány nem 1, akkor a háromszög

A

csúcsához tartozó külső szögfelező egy

N

pontban metszi a

B C

oldalt. A szögfelezőtétel szerint

\begin{matrix} \frac{b}{c} = \frac{C M}{M B} = \frac{C N}{N B}, \end{matrix}

vagyis a

B C = a

távolság ismeretében az

M

és

N

pontokat ‐ az arányosan osztó pont ismert szerkesztése alapján ‐ meg tudjuk szerkeszteni. Tudjuk, hogy egy háromszög ugyanazon csúcsához tartozó külső és belső szögfelezők egymásra merőlegesek. Ezért az

A

pont rajta van az

M N

szakasz Thalesz-körén. Másrészt az

A

pont rajta van az

M

középpontú,

M A

sugarú körön is. Ezeket felhasználva a szerkesztés:
Felvesszük az adott

B C

oldalt. A

B C

egyenesen az arányosan osztó pont szerkesztésével megszerkesztjük az

M

és

N

pontokat. Az

M N

szakasz Thalesz-körének és az

M

középpontú

M A

sugarú körnek a metszéspontja adja a háromszög

A

csúcsát. Ez a szerkesztés megfelelő háromszöget ad, mivel az

M N

fölötti Thalesz-kör tetszőleges

A

pontjára az

A B C

háromszögnek

A M

(belső) szögfelezője. Ha a két kör metszi egymást, akkor a két metszéspont szimmetrikus a

B C

egyenesre, tehát ekkor a feladatnak lényegében egy megoldása van, míg ha a két kör érinti egymást, vagy nincs közös pontjuk, akkor nincs megoldása a feladatnak.

Ha a

\frac{b}{c}

arányt

λ

-val jelöljük, akkor könnyen kiszámolható, hogy

M N = \frac{2 λ a}{1 - λ^{2}}

, tehát a feladatnak csak akkor van megoldása, ha

M A < \frac{2 λ}{1 - λ^{2}} \cdot a

Megjegyzés. Az

M N

szakasz Thalesz-köre megegyezik azon

P

pontok halmazával, melyekre a

\frac{P C}{P B}

arány egyenlő az adott

\frac{b}{c}

aránnyal. Ezt a kört szokás az adott

B

és

C

pontokhoz, valamint

\frac{b}{c}

arányhoz tartozó Apollóniosz-körnek nevezni. (Lásd: Geometriai feladatok gyűjteménye, I. kötet 1395. feladat.)