Kezdőlap


Feladat:	Gy.2314	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1986/november, 382 - 383. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Számkörök, Paralelogrammák, Párhuzamos szelők tétele, Párhuzamos szelőszakaszok tétele, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/január: Gy.2314

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Próbáljuk meg a párhuzamos szelők tételének segítségével a feladatban szereplő arányokat a $G F$ egyenesre vetíteni! Húzzunk tehát $H$ -n keresztül párhuzamost a paralelogramma $A D$ oldalával, és messe ez $G F$ -et $E$ -ben (1. ábra).

1. ábra

Ekkor

\begin{matrix} \frac{G E}{E F} = \frac{A H}{H B} = \frac{1}{2}, \end{matrix}

(1)

másfelől ha

M

jelöli

G F

és

H C

metszéspontját, akkor

\begin{matrix} \frac{E M}{M F} = \frac{E H}{F C} = \frac{E H}{F B} = \frac{2 \cdot G A + F B}{3 \cdot F B} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} . \end{matrix}

(2)

Lényegében készen vagyunk, ismerjük ugyanis, hogy milyen arányban osztja az

E

pont a

G F

szakaszt (1:2), illetve az

M

pont az

E F

szakaszt (2:3).
Válasszuk most

E M

-et 4 egységnek. Ekkor (2) miatt

M F

6 egység, vagyis

E F

10 egység, így (1) miatt

G E

5 egység. Innen a keresett arány:

\begin{matrix} \frac{G M}{M F} = \frac{5 + 4}{6} = \frac{3}{2} . \end{matrix}

H C

szakasz tehát 2:3 arányban osztja az

F G

szakaszt.

II. megoldás. Legyen

A B = D C = 3 a

A D = B C = 4 b

. A

G F

és

H C

egyenesek metszéspontja legyen

M

, a

H C

és

A D

egyenesek metszéspontja pedig

P

(2. ábra).

2. ábra

P H A

és a

C H B

háromszögek nyilvánvalóan hasonlók, a hasonlóság aránya

A H : H B = 1 : 2

. Ezért

A P = \frac{1}{2} B C = 2 b

. A

C M F

és a

P M G

háromszögek is hasonlóak, a hasonlóság aránya

C F : P G

, ami

C F = 2 b

és

P G = P A + A G = 2 b + b = 3 b

miatt 2:3. Így

F M

és

M G

aránya is 2:3, azaz a

H C

szakasz 2:3 arányban osztja az

F G

szakaszt.

Megjegyzés. Nagyon sokan elkövették a következő hibát: "A

G M C D

és az

F M H B

négyszögek szögei megegyeznek, tehát a két négyszög hasonló.'' Az indoklás így hibás! Gondoljunk például egy hosszú, keskeny téglalapra és egy négyzetre! Szögeik megegyeznek, a két négyszög mégsem hasonló.
Két négyszög hasonlóságához a szögek egyenlőségén kívül még további feltétel is szükséges, például az, hogy két-két egymás melletti oldal aránya megegyezzék. Esetünkben ez is teljesül, mert:

\begin{matrix} G D : D C = 3 b : 3 a = b : a = 2 b : 2 a = F B : B H, \end{matrix}

a két négyszög tehát valóban hasonló. Ezt felhasználva is megoldható a feladat.
Két négyszög akkor is hasonló, ha egy-egy átlójukkal kettévágva, a részháromszögek páronként hasonlóak.