Kezdőlap


Feladat:	Gy.2313	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Vasy András
Füzet:	1986/október, 306 - 307. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenlőtlenségek, Hossz, kerület, Négyzetek, Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/január: Gy.2313

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $1,4 < \sqrt[]{2}$ , a nyuszi gyorsabban fut végig egy négyzet oldala, mint a farkasok bármelyike ugyanennek a négyzetnek az átlója mentén. Így ha az $F_{3}$ pontban nem volna farkas, akkor itt a nyuszi kimenekülhetne, hisz a másik három farkas nem ér ide, míg a nyuszi $F_{3}$ -ba fut a négyzet $N$ középpontjából. (A továbbiakban a megfelelő indexű $f$ betűvel hivatkozunk az egyes farkasokra.)

Nem az

F_{3}

az egyetlen olyan pont, amelyen át a nyuszi elmenekülhet az

f_{2}, f_{4}

, és

f_{1}

farkasok elől. Feltéve, hogy sebességének csökkentése nélkül meg tudja változtatni mozgásának irányát, a nyuszi az

N F_{3}

szakasz egy megfelelően kiválasztott

P

pontjában addigi mozgására merőlegesen befordulhat és az

N F_{3}

-mal egyenlő hosszú

N P M

‐ vagy pedig

N P M'

‐ töröttvonal mentén még mindig megmenekülhet

f_{4}

‐ és

f_{2}

‐ elől, amennyiben az

F_{4} M

‐ és így az

F_{2} M'

‐ szakasz még nagyobb, mint

1,4 \cdot N F_{3}

. (Természetesen

f_{1}

szintén nem éri el ilyenkor a nyuszit.) Ilyen

M

pont ‐ és így a megfelelő

P

‐ pedig nyilván létezik, hiszen

\begin{matrix} F_{4} F_{3} = \sqrt[]{2} N F_{3} > 1,4 N F_{3} . \end{matrix}

Nyuszinknak így már csak

f_{3}

-ra kell figyelnie, előle pedig épp azért menekülhet el, mert a

P

pontban választhat, hogy

M

vagy pedig

M'

felé induljon-e.

f_{3}

nem lehet ott mindkét

F_{3}

-ból induló négyzetoldal belsejében, így ha a nyuszi az

f_{3}

-tól távolabb levő pontot választja

M

és

M'

közül, akkor a farkasnak legalább egy

P F_{3}

oldalú négyzet átlóját kell megtennie, miközben a nyuszi ennek a négyzetnek az oldala mentén eljut a kert határához.

Megjegyzések. 1. A nyuszinak komoly lelkierőre van szüksége, ha menteni akarja az irháját. Az

F_{4} M > 1,4 N F_{3}

feltételből ugyanis a

P

pontra

P F_{3} < (1 - 0,7 \cdot \sqrt[]{2}) N F_{3} \sim 0,01005 \cdot N F_{3}

adódik. A nyuszinak tehát az

N F_{3}

útnak mintegy

99 %

-ában az

F_{3}

pont irányába kell futnia ‐ egyenesen szemközt az ott ülő farkassal.
Másfelől a nyuszinak pillanatnyi habozás nélkül meg kell kezdenie a fenti ‐ vagy más ‐ tervének végrehajtását. Ha ugyanis a farkasok el tudják foglalni az egyes oldalakon a nyuszi pillanatnyi helyének vetületét ‐ és ezt mindig megtehetik, ha a nyuszi annyi időt tölt a kert belsejében, amennyi a farkasoknak a kert egy oldalának a befutásához szükséges ‐ akkor ezután a nyuszi további útvonalának minden pontjában tartani tudják ezeket a vetületi pontokat és ehhez már nem is kell túlzottan igyekezniük, elegendő, ha sebességük nem kisebb, mint a nyuszié.
2. A megoldás szerint a nyuszi mindig megmenekülhet, ha a farkasok és az ő sebességének aránya kisebb, mint

\sqrt[]{2}

. Vasy András, a budapesti Apáczai Csere János Gimnázium II. osztályos tanulója vette észre, hogy amennyiben ez az arány legalább

\sqrt[]{2}

, akkor a farkasok elcsíphetik a nyuszit. Ha ugyanis a nyuszi útvonalának minden egyes pontján keresztül párhuzamosokat húzunk az átlókkal, akkor könnyen látható, hogy a farkasok folyamatosan el tudják foglalni azt a négy pontot, ahol ezek az egyenesek a kert határát metszik, így a kert határához érve szegény nyuszit legalább két farkas éri el.