Kezdőlap


Feladat:	Gy.2311	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1986/október, 306. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Kombinatorikai leszámolási problémák, Kombinációk, Számsorozatok, Klasszikus valószínűség, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/január: Gy.2311

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $n + k \leq 1$ , azaz legfeljebb egy golyó van, akkor mindkét esemény lehetetlen, a szóban forgó valószínűségek értéke így $0$ . A továbbiakban tegyük fel, hogy $n + k \geq 2$ .
Jelölje $U$ azt az eseményt, hagy a kihúzott golyók ugyanolyan színűek, $K$ pedig azt, hogy különbözők. Bármely két golyó kihúzása egyformán valószínű, így az $U$ és a $K$ események valószínűségének a felírásához azoknak a pároknak a számát kell meghatároznunk, amikor a két golyó ugyanolyan, illetve különböző színű. A kérdéses valószínűségeket ezután úgy kapjuk, hogy ezeket a számokat elosztjuk az összesen kiválasztható párok számával, $(\binom{n + k}{2})$ -vel.
Az $U$ esemény két egymást kizáró módon valósulhat meg; úgy, hogy mindkét kihúzott golyó fehér ‐ ez $n (n - 1) / 2$ lehetőség ‐, vagy pedig úgy, hogy mindkettő piros ‐ ilyen pár $k (k - 1) / 2$ darab van. (Vegyük észre, hogy ezek a formulák akkor is a helyes ‐ nulla ‐ eredményt adják, ha $n$ vagy $k$ kisebb, mint 2.)
A $K$ esemény $n \cdot k$ -féleképpen következhet be, hisz az $n$ darab fehér golyó mindegyikéhez kiválasztható bármelyik a $k$ darab piros közül.
Azokat az $n$ , $k$ nem negatív egészeket keressük tehát, amelyekre

\begin{matrix} P (U) = [\frac{n (n - 1)}{2} + \frac{k (k - 1)}{2}] / (\binom{n + k}{2}) = n \cdot k / (\binom{n + k}{2}) = P (K) . & (1) \end{matrix}

Rendezés után kapjuk, hogy (1) pontosan akkor teljesül, ha

{(n - k)}^{2} = n + k

. Az

n - k = t

jelölést bevezetve innen

n + k = t^{2}

, ahonnan

\begin{matrix} k = \frac{(t - 1) \cdot t}{2} és n = \frac{t \cdot (t + 1)}{2} . & (2) \end{matrix}

Ezek a mennyiségek a

t

minden egész értékére nemnegatív egészek és mivel

| t | > 1

esetben lépéseink megfordíthatók, a (2) szerint kiszámolt

(k, n)

párokra teljesül (1) ‐ ekkor mindkét valószínűség

1 / 2

.
Összefoglalva tehát: a szóban forgó

(k, n)

párok halmaza a

{\frac{t^{2} - t}{2}, \frac{t^{2} + t}{2}

;

t egész}

halmaz, vagyis a következő sorozat bármelyik két szomszédos eleme lehet az

n

és a

k

, illetve a

k

és az

n

\begin{matrix} 0, 1, 3, 6, ..., \frac{m (m - 1)}{2}, ... \end{matrix}