Feladat: Gy.2310 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Buga Márta ,  Varga Tamás 
Füzet: 1986/október, 305. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Szorzat, hatványozás azonosságai, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1986/január: Gy.2310

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A törtek nevezője nem lehet 0, így x≠50 és x≠49. Mindkét oldalon közös nevezőre hozva kapjuk, hogy

(x-49)49+(x-50)5050⋅49=49(x-49)+50(x-50)(x-50)(x-49).(2)



(A számlálók egyenlők és ebből nagyon sokan a nevezők egyenlőségére következtettek, holott ez nem szükségképpen igaz, ti. ha a számláló 0. A szerk.).
Ha (x-49)⋅49+(x-50)⋅50=0, akkor a rendezés után kapott elsőfokú egyenlet megoldása x=490199, ami megoldása (1)-nek is.
Ha (2)-ben a számláló nem 0, akkor egyenlők a nevezők, azaz
50⋅49=(x-50)(x-49).
Rendezés után kapjuk, hogy x2-99x=x(x-99)=0, azaz x=0, vagy x=99. Látható, hogy mindkét szám (1)-nek is megoldása.
Az egyenletnek tehát három gyöke van: a 0, a 99 és a 490199.

 

II. megoldás. A nevezőkkel való szorzás útján kapjuk, hogy
(x-49)2(x-50)⋅49+(x-50)2(x-49)⋅50==492⋅50⋅(x-49)+502⋅49⋅(x-50).


Ha nem végezzük el a beszorzásokat, akkor csoportosítás után
49(x-49)⋅[(x-49)(x-50)-49⋅50]+50(x-50)[(x-50)(x-49)-50⋅49]=0,azaz[49(x-49)+50(x-50)][(x-49)(x-50)-49⋅50]==(99x-4901)x(x-99)=0


adódik.
A szorzat alapján kapott gyökök, 490199 , 0 és 99 nyilván az eredeti egyenletnek is gyökei.