Kezdőlap


Feladat:	Gy.2307	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1986/szeptember, 260 - 261. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Háromszögek szerkesztése, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/december: Gy.2307

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a feladatot megoldottnak! Messe a keresett egyenes az $O C$ sugarat az $M$ , a $B C$ ívet pedig az $E$ pontban! Legyen $A M = x$ (1. ábra).

1. ábra

Ha az

x

hosszúságú szakaszt meg tudjuk szerkeszteni, akkor a feladatot lényegében megoldottuk, hiszen az

A

középpontú

x

sugarú kör a

C D

átmérőn kimetszi az

M

pontot, és

A M

a megfelelő egyenes lesz.
Az

A B E

és

A M O

háromszögek hasonlóak, mert szögeik megegyeznek. A megfelelő oldalaik arányára kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{A E}{A B} = \frac{A O}{A M} azaz: \frac{x + d}{2} = \frac{1}{x} . \end{matrix}

Rendezve:

\begin{matrix} x^{2} + d x - 2 = 0. \end{matrix}

Ennek az egyenletnek csak a pozitív megoldását keressük, ezért:

\begin{matrix} x = \frac{- d + \sqrt[]{d^{2} + 8}}{2} . \end{matrix}

Ezután

d

ismeretében a

\sqrt[]{d^{2} + 8}

szakasz, és így

x

is könnyen szerkeszthető (2. ábra).

2. ábra

Mivel a fenti lépések megfordíthatók, a kapott

x

szakasszal szerkesztett

M

pontra

M E = d

, tehát valóban a megoldást kapjuk.
A feladatnak nyilván csak akkor lehet megoldása, ha

\begin{matrix} 0 \leq d \leq 1. \end{matrix}

(1)

Ekkor egyszerű számolással adódik, hogy

\begin{matrix} 1 \leq \frac{- d + \sqrt[]{d^{2} + 8}}{2} \leq \sqrt[]{2}, \end{matrix}

tehát az

A

középpontú

x

sugarú kör metszi ‐

a d = 1

esetben pedig

O

-ban érinti ‐ az

O C

szakaszt, vagyis ha (1) teljesül, akkor a feladatnak létezik, mégpedig csak egy megoldása.