Kezdőlap


Feladat:	Gy.2302	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1986/szeptember, 259 - 260. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Szorzat, hatványozás azonosságai, Irracionális egyenlőtlenségek, Gyökös függvények, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/december: Gy.2302

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ahhoz, hogy az adott mennyiségek nagyságviszonyáról beszélhessünk, meg kell mutatnunk, hogy ezek a mennyiségek léteznek, azaz a négyzetgyökjelek alatt nem állnak negatív számok. Ez a $B$ -t alkotó összeg második tagja esetén nem nyilvánvaló. Itt $\sqrt[]{55 - 10 \sqrt[]{29}}$ értelmezve van, hisz $55 > 10 \sqrt[]{29}$ ( $5$ -tel osztva és négyzetre emelve $121 > 116$ adódik). A ,,nagy'' négyzetgyök-jel alatti mennyiséget átalakítva kapjuk, hogy

\begin{matrix} 16 - 2 \sqrt[]{29} + 2 \sqrt[]{55 - 10 \sqrt[]{29}} = 5 + (11 - 2 \sqrt[]{29}) + 2 \sqrt[]{5} \sqrt[]{11 - 2 \sqrt[]{29}}, \end{matrix}

és innen látható, hogy két tag,

\sqrt[]{5}

és

\sqrt[]{11 - 2 \sqrt[]{29}}

összegének négyzetével állunk szemben. Ennek megfelelően

\begin{matrix} B = \sqrt[]{11 + 2 \sqrt[]{29}} + \sqrt[]{{(\sqrt[]{5} + \sqrt[]{11 - 2 \sqrt[]{29}})}^{2}} = \sqrt[]{5} + \sqrt[]{11 + 2 \sqrt[]{29}} + \sqrt[]{11 - 2 \sqrt[]{29}}, \end{matrix}

A két mennyiség nagyságviszonya most már azon múlik, hogy

\begin{matrix} A_{1} = \sqrt[]{22 + 2 \sqrt[]{5}} és B_{1} = \sqrt[]{11 + 2 \sqrt[]{29}} + \sqrt[]{11 - 2 \sqrt[]{29}} \end{matrix}

közül melyik a nagyobb. Négyzetre emelve kapjuk, hogy

\begin{matrix} A_{1}^{2} = 22 + 2 \sqrt[]{5}, B_{1}^{2} = 22 + 2 \sqrt[]{11^{2} - {(2 \sqrt[]{29})}^{2}} = 22 + 2 \sqrt[]{5} . \end{matrix}

Azt kaptuk, hogy

A_{1}^{2} = B_{1}^{2}

és így

A_{1} = B_{1}

, hiszen pozitív számokról van szó, az

A

és

B

számok tehát egyenlők.