Kezdőlap


Feladat:	Gy.2301	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1986/május, 214 - 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Szabályos sokszög alapú gúlák, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/november: Gy.2301

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy szabályos gúla alaplapja szabályos sokszög, oldallapjai pedig egybevágó egyenlő szárú háromszögek.
Legyen $A$ és $B$ az alaplap két szomszédos csúcsa, $F$ az $A B$ él felezőpontja, $C$ pedig a gúlának az a csúcsa, amely nincs rajta az alaplapon. Mivel a gúla szabályos, a $C$ merőleges vetülete az alaplapra éppen az alaplap köré irt kör $O$ középpontja.

O F

egyenes és a

C F

egyenes is merőleges az

A B

élre, tehát az

O F C ∢

éppen a gúla alaplapjának és oldallapjának hajlásszöge. Az

F A C ∢

pedig az

A

csúcsból induló oldalél és alapél hajlásszöge, így a feltétel szerint:

\begin{matrix} O F C ∢ = F A C ∢ . \end{matrix}

(1)

C O F

és

C F A

háromszögek derékszögűek, és (1) miatt van egy további egyenlő szögük is. Ezért ez a két háromszög hasonló, tehát a megfelelő oldalak aránya egyenlő:

\begin{matrix} \frac{C O}{O F} = \frac{C F}{F A}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \frac{C O}{C F} = \frac{O F}{F A} . \end{matrix}

(2)

Mivel

C O < C F

(derékszögű háromszög befogója, illetve átfogója), ezért

O F < A F

. Ekkor viszont

A O F ∢ > O A F ∢

, mert egy háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van. Ebből következik, hogy

\begin{matrix} A O F ∢ > 45^{\circ} tehát A O B ∢ = 2 \cdot A O F ∢ > 90^{\circ} . \end{matrix}

Olyan szabályos sokszög viszont, amelynek oldala a sokszög középpontjából

90^{\circ}

-nál nagyobb szögben látszik, csak egy van, a szabályos háromszög. A gúla alaplapja tehát szabályos háromszög.
Ekkor

A O B ∢ = 120^{\circ}

, vagyis

F O A ∢ = 60^{\circ}

, ezért

F A O ∢ = 30^{\circ}

. Az

O F A

derékszögű háromszögben

\begin{matrix} \frac{O F}{F A} = tg30^{\circ}=\frac{\sqrt[]{3}}{3}, \end{matrix}

és innen (2) szerint kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{C O}{C F} = \frac{\sqrt[]{3}}{3} . \end{matrix}

Ez viszont éppen a keresett szög szinusza. Innen a keresett szög

35^{\circ} 15^{'}

.
Mivel a kapott szög hegyesszög, ilyen szabályos gúla valóban létezik. Ezzel a feladatot megoldottuk.

Megjegyzés. Sok beküldő úgy értelmezte a szabályos gúlát, hogy annak minden éle egyenlő. Ezek a megoldások nem kaptak pontot.