Kezdőlap


Feladat:	Gy.2300	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1986/május, 213 - 214. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Körülírt kör középpontja, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/november: Gy.2300

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $E$ az a pont a síkon, amelyre az $A B C$ háromszög egybevágó az $E D A$ háromszöggel, továbbá $E$ az $A D$ egyenesnek azon az oldalán van, mint $B$ . Ez az $E$ pont nyilvánvalóan egyértelműen létezik. Ekkor:

\begin{matrix} A E = E D = A B = A C \end{matrix}

és

\begin{matrix} A D E ∢ = E A D ∢ = A B C ∢ = A C B ∢ = 40^{\circ} . \end{matrix}

Mivel egy háromszög szögeinek összege

180^{\circ}

, ezért

B A C ∢ = 100^{\circ}

, vagyis

\begin{matrix} B A E ∢ = B A C ∢ - E A D ∢ = 100^{\circ} - 40^{\circ} = 60^{\circ} . \end{matrix}

Tehát az

E A B

egyenlő szárú háromszög egyenlő oldalú is, vagyis

\begin{matrix} E A = A B = A E = E D . \end{matrix}

E

pont tehát az

A B D

háromszög körülírt körének középpontja.

B D C ∢ = B D A ∢

A B

íven nyugvó kerületi szög, és így az

A B

középponti szög felével,

30^{\circ}

-kal egyenlő.

Megjegyzés. Emlékeztetjük olvasóinkat a 2267. gyakorlat megjegyzésére (36. évf. 20. old., 1986. január). Ha az ottani 2. ábrán

O P_{3}

és

P_{1} P_{6}

metszéspontja

B

O P_{8}

és

P_{5} P_{10}

metszéspontja

C

, akkor az

O, B, C, P_{3}

pontrendszer egybevágó az itteni

A, B, C, D

rendszerrel, és így

B D C ∢ = P_{12} P_{3} P_{9} ∢ = P_{12} O P_{9} ∢ / 2 = 30^{\circ}

. Bizonyítsák a felhasznált tényeket!