Kezdőlap


Feladat:	Gy.2296	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1986/május, 208 - 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Nevező gyöktelenítése, Diofantikus egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/november: Gy.2296

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Osszuk el az egyenlőség mindkét oldalát $(\sqrt[]{30} - \sqrt[]{18})$ -cal, majd gyöktelenítsük a kapott tört nevezőjét:

\begin{matrix} 3 \sqrt[]{a} + \sqrt[]{b} = \frac{12}{\sqrt[]{30} - \sqrt[]{18}} = \frac{12 (\sqrt[]{30} + \sqrt[]{18})}{30 - 18}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} 3 \sqrt[]{a} + \sqrt[]{b} = \sqrt[]{30} + \sqrt[]{18} = 3 \sqrt[]{2} + \sqrt[]{30} \end{matrix}

(2)

adódik.
Belátjuk, hogy ha

a

és

b

pozitív egészek, akkor (2) csak úgy teljesülhet, ha a két oldalon szereplő összegek tagonként egyenlők, azaz

a = 2

és

b = 30

. Emeljük négyzetre (2) mindkét oldalát. Mivel (2)-ben mindkét oldal pozitív, a kapott összefüggés ekvivalens az eredetivel.

\begin{matrix} 9 a + b + 6 \sqrt[]{a b} = 48 + 6 \sqrt[]{60}, \end{matrix}

ahonnan kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{48 - (9 a + b)}{6} = \sqrt[]{a b} - \sqrt[]{60} . \end{matrix}

(3)

A feltétel szerint a bal oldalon egész számok hányadosa áll, így

\sqrt[]{a b} - \sqrt[]{60}

racionális szám. Ha nem nulla, akkor

\begin{matrix} \frac{a b - 60}{\sqrt[]{a b} - \sqrt[]{60}} = \sqrt[]{a b} + \sqrt[]{60} \end{matrix}

szintén racionális, és így

2 \sqrt[]{60} = (\sqrt[]{a b} + \sqrt[]{60}) - (\sqrt[]{a b} - \sqrt[]{60})

is az. Ez viszont nem igaz, hiszen ismeretes, hogy a pozitív egész számok közül pontosan a négyzetszámok négyzetgyökei racionálisak, a 60 pedig nem négyzetszám.
Azt kaptuk tehát, hogy

\sqrt[]{a b} - \sqrt[]{60} = 0

, ahonnan egyrészt

a b = 60

, másrészt (3) szerint

9 a + b - 48 = 0

Az egyenletrendszer megoldásai

(\frac{10}{3}, 18)

és (2, 30). Mivel csak az utóbbi megoldás áll egész számokból, ezért valóban

a = 2

és

b = 30

, ahogyan állítottuk.

Megjegyzés. A megoldás során hivatkoztunk arra, hogy ha egy

m

pozitív egész nem négyzetszám, akkor

\sqrt[]{m}

irracionális. Ezt a

\sqrt[]{2}

irracionális voltának ismert bizonyításához hasonló gondolatmenettel láthatjuk be.
Ha

\sqrt[]{m}

racionális, akkor felírhatjuk relatív prím egész számok

p / q

hányadosaként. Négyzetre emelve és

q^{2}

-tel szorozva kapjuk, hogy

p^{2} = m \cdot q^{2}

. Innen egyrészt

m ∣ p^{2}

, másrészt mivel a számelmélet alaptétele szerint

p^{2}

-nek és

q^{2}

-nek sincs l-nél nagyobb közös osztója,

p^{2}

valamennyi prímtényezője

m

felbontásában szerepel, vagyis

p^{2} ∣ m

. A két oszthatóságot egybevetve valóban

m = p^{2}

, azaz

m

egy egész szám négyzete.
A fenti bizonyítás nyilván nemcsak négyzetgyökvonásra mondható el, általában is igaz tehát, hogy egy természetes szám

n

-edik gyöke vagy egész ‐ és így maga a szám

n

-edik hatvány ‐ vagy pedig irracionális.