Kezdőlap


Feladat:	Gy.2291	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1986/március, 118 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Algebrai átalakítások, Derékszögű háromszögek geometriája, Súlyvonal, Súlypont, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/október: Gy.2291

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $A B C$ háromszög súlypontja $S$ , az $A C$ befogó felezőpontja pedig $F$ . Mivel a háromszög súlypontja harmadolja a súlyvonalakat, ezért

\begin{matrix} B S = 2 S F, azaz B S = \frac{2}{3} B F . \end{matrix}

A feltétel szerint a

C S

szakasz merőleges a

B F

szakaszra, ezért a

B C F

és a

B S C

háromszögek szögei megegyeznek, így a két háromszög hasonló. A két háromszögben ezért a megfelelő oldalak aránya is megegyezik, azaz

\begin{matrix} \frac{B F}{B C} = \frac{B C}{B S} = \frac{3 B C}{2 B F} . \end{matrix}

Rendezés után

B F^{2} = \frac{3}{2} B C^{2}

, ahonnan

\begin{matrix} B F = \sqrt[]{\frac{3}{2}} a . \end{matrix}

A megadott feltételeknek eleget tevő

A B C

háromszög létezik, oldalai

B C = a

A C = a \sqrt[]{2}

A B = a \sqrt[]{3}

. Ezzel a feladatot megoldottuk.

Megjegyzés. Ilyen háromszöget határoz meg a kocka

A

B

C

csúcshármasa, ha

A

és

B

egy testátló végpontjai és

C

szomszédos

B

-vel.