Feladat: Gy.2286 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1986/április, 170. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatósági feladatok, Prímszámok, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/október: Gy.2286

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kétjegyű palindrom számok a 11,22,...,99; ezek közül a 11 prímszám, a többiek a 11 többszörösei. Megmutatjuk, hogy ez általában is igaz, tehát ha P páros jegyű palindrom, akkor osztható 11-gyel. Ebből következik, hogy a feladat egyetlen megoldása a 11.
Ha P2n-jegyű és első n jegye a1,a2,...,an, akkor a második n jegy a feltétel szerint an,an-1,...,a1. P tehát felírható legfeljebb n darab ai00...00ai¯⋅10i-1 alakú szám összegeként, ahol a közrefogott nullák száma páros. (Ha ai=0, akkor a megfelelő tag nyilván nem szerepel az összegben.)
Egy ilyen szám az 100...001 egész számú többszöröse (ai⋅10i-1-szerese), amely pedig 11...11-10⋅1...1 alakba írható. Ez utóbbi felírásban a kivonandó második tényezője a kisebbítendőnél 2-vel kevesebb ‐ és így ugyancsak páros darab ‐ 1-esből áll. Mivel pedig a páros sok 1-esből álló számok ‐ mint a 10 megfelelő páros kitevőjű hatványai 11-szeresének összegei ‐ oszthatók 11-gyel, így a fenti különbség mindkét tagja osztható 11-gyel, és így maga a különbség is.
A P szám tehát 11-gyel osztható számok egész számú többszöröseinek összege, tehát valóban osztható 11-gyel. Ezzel a bizonyítást befejeztük.
 

Megjegyzés. Ismeretes, hogy egy szám pontosan akkor osztható 11-gyel, ha 10-es számrendszerbeli alakjában a páros, illetve a páratlan helyi értékeken álló jegyek összegének különbsége osztható 11-gyel ‐ általában pedig a szám és ez a különbség ugyanazt a maradékot adják 11-gyel osztva. Ezt felhasználva azonnal kapjuk, hogy egy páros jegyű palindrom osztható 11-gyel, ekkor ugyanis a szóban forgó különbség nulla.