A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Egy húrnégyszögben a szemközti szögek összege , ugyanakkor ha a négyszög trapéz, akkor a szárakon is ennyi a szögek összege. A körbe írt trapézban tehát egyenlők az alapon fekvő szögek, így az ilyen trapéz tengelyesen szimmetrikus, a tengely az alapok közös felező merőlegese. A megoldás során két esetet különböztetünk meg aszerint, hogy a betűzésből adódóan szomszédos és csúcsok a szóban forgó trapézok egy alapjának, vagy pedig egy szárának a végpontjai. a) Legyen először a trapéz alapja. Ekkor a szimmetria miatt az átlók metszéspontja rajta van az szakasz felező merőlegesén, amely az ilyen trapézok szimmetriatengelye. A keresett pontok tehát az felező merőlegesének a kör belsejébe eső részén vannak. Meg kell vizsgálnunk, hogy a fenti nyílt átmérőszakasz milyen pontjaihoz létezik olyan -ba írt, oldalú trapéz, amelyben éppen az átlók metszéspontja. Nyilván ki kell zárnunk az egyenesnek az szakasszal való metszéspontját, az szakasz felezőpontját. Az -től különböző pontokra viszont az és egyenesek az -re tükrös helyzetű , illetve pontokban metszik a kört, a kapott négyszög tehát a körbe írt trapéz (1. ábra).
1. ábra
2. ábra b) Tekintsük most azokat a -ba írt trapézokat, amelyeknek az egyik szára. Jelöljük az húrhoz tartozó kerületi szöget -val, az átlók metszéspontját pedig -mel (2. ábra). Mivel egyenlő szárú háromszög, a külső szöge . Az szakasz tehát állandó, szögben látszik az pontból, és ezért rajta van az szakasz szögű látókörívének a belsejébe eső ívén (ez egyébként az , , pontokon átmenő kör, ahol a kör középpontja), hacsak , azaz az szakasz nem átmérője a körnek. Ez utóbbi esetben nyilván nem létezik szárú -ba írt trapéz. Megfordítva, ha nem átmérő, akkor legyen a látókörív belsejébe eső ívének tetszőleges pontja. Messe és a kört -ben, illetve -ben. Ekkor , másrészt az -nél létrejövő külső szög miatt a és a szögek ugyancsak -val egyenlők. így párhuzamos -vel, az négyszög tehát trapéz. Összefoglalva, a keresett ponthalmaz az szakaszra merőleges átmérőnek a belsejébe eső szakasza az pont kivételével, továbbá ha nem átmérő, akkor az háromszög körülírt körének a kör belsejébe eső íve. ( az szakasz felező pontja, pedig a kör középpontja ‐ 3a, 3b ábrák.)
3.a ábra
3.b ábra
|